Calcolo energia elettrostatica

Salve a tutti.
Sto risolvendo un problema di fisica 2 e mi è sorto un dubbio.
Devo calcolare l'energia di una sfera di raggio R che ha una carica distribuita con densità volumetrica costante ρ.

Io ho pensato di procedere in questo modo:
Trovo il valore della carica Q=V*ρ dove V è il volume della sfera, quindi $ Q=ρ4/3 π r^3 $
Successivamente calcolo il campo elettrico :
$ E=Q/(4piεr^2) $
Per calcolare l'energia invece scrivo
$ U=int 1/2varepsilon E^2 dτ $
Il mio dubbio, se fin qui è tutto corretto, riguarda gli estremi di integrazione. devo integrare tra 0 e R? Potete aiutarmi? non ho i risultati.

Grazie mille in anticipo

Ciao!

Per calcolare l'energia invece scrivo
$ U=int 1/2varepsilon E^2 dτ $

Quell'integrale che hai scritto tu va esteso a tutti i punti in cui $vec(E) != 0$, ovvero in tutto lo spazio (l'integrando rappresenta infatti la densità di energia elettrostatica del campo). Altrimenti puoi calcolare l'energia elettrostatica tramite la definizione:

$U= 1/2 int_(tau) rho V d tau$

Dove stiamo integrando su tutto il volume della sfera. Se avessi ancora dubbi guarda qui , anche se, in questo caso, si ha una sfera conduttrice, ma può aiutarti comunque a capire.

Ciao, grazie per la risposta. Nel caso di conduttore deve essere che il campo all'interno è nullo quindi si integra per questo tra R e infinito? Nel mio caso invece ho una sfera con carica distribuita con densità uniforme quindi cosa devo considerare come spazio in cui E è diverso da zero? Devo integrare quindi come avevo pensato io da 0 a R oppure con "tutto lo spazio" si intende da 0 a infinito?
Per essere più chiaro, il quesito che ho posto è solo una parte del problema. Il problema chiede di calcolare la variazione di energia tra lo stato iniziale in cui si osserva la carica distribuita con densità uniforme e lo stato finale in cui la carica si distribuisce sulla superficie della sfera. Nel secondo caso ho pensato invece di integrare tra R e infinito, corretto?

Non è che puoi integrare come ti pare . Se utilizzi la definizione :

$U= 1/2 int_(tau) rho V d tau$

devi integrare sul volume in cui sono presenti le cariche, ovvero tutta la sfera! A dirla per bene, potresti comunque integrare in tutto lo spazio, poiché dove non c'è carica si ha $rho=0$, ma non complichiamo ulteriormente le cose...

Si può dimostrare che la formula sopra equivale a:

$U = int_(E_0 != 0) (epsilon_0 E_0 ^2)/2 d tau$

dove stavolta, invece di integrare dove sono presenti cariche, si integra in tutto lo spazio in cui il campo è non nullo! Ed è ovvio, poiché nella funzione integranda c'è $E$! Comunque anche in questo caso puoi integrare in tutto lo spazio, poiché le zone in cui il campo è nullo non contribuiscono all'integrale. Ti rinnovo l'invito a guardare il link che ti ho messo nel messaggio precedente.

Scusami ma continuo a non capire, credo di avere un problema a livello concettuale. Premetto che ho letto il post da te consigliatomi, però mi sembra di aver capito che in quel caso, dato che si tratta di un conduttore il campo interno alla sfera è nullo e quindi si integra da R a infinito dove il campo è non nullo. ho capito bene o il motivo è un altro?
Tornando al mio esercizio invece, dato che non si tratta di un conduttore il campo elettrico è dovunque? quindi dal centro della sfera fino a infinito? non riesco a capire cosa intendi con "tutto lo spazio". Purtroppo sto affrontando la materia da solo e sto riscontrando non poche difficoltà.

Allora provando a procedere con il secondo integrale ho ottenuto i seguenti valori.
Credo di aver sbagliato innanzitutto il calcolo del campo elettrico perchè dovevo considerare un campo elettrico interno alla sfera, giusto? e ho quindi ottenuto quindi $ E=(ρr)/(3varepsilon) $ dove $ rho=Q/(4/3 piR^3 $
corretto?
$ U=∫1/2 varepsilonE^2 d tau $ con estremi di integrazioni da 0 a R dato che anche il campo elettrico l'ho calcolato tra il centro e il "bordo" della sfera. Ti chiedo di avere pazienza, non so più dove mettere le mani

OK, ho trovato un pdf di un libro in inglese. Come al solito sono molto più chiari rispetto ai testi in italiano. ho capito cosa intendevi con TUTTO LO SPAZIO, interno ed esterno alla sfera, quindi l'integrale doveva "spezzarsi" in due e valutare una volta il campo elettrico interno alla sfera e una volta quello esterno.
Solo un'ultima cosa, nella seconda situazione in cui la carica si è distribuita sulla superficie, la carica è sempre la stessa ? e devo considerare il caso come un conduttore in cui la carica è distribuita appunto sulla superficie della sfera?

...nella seconda situazione in cui la carica si è distribuita sulla superficie, la carica è sempre la stessa ? e devo considerare il caso come un conduttore in cui la carica è distribuita appunto sulla superficie della sfera?

Credo che la risposta sia si ad entrambe le domande. Bisognerebbe vedere qual è esattamente il testo dell'esercizio.

Ciao io ho pensato che procedendo allo stesso modo e quindi considerando lo spazio interno alla sfera e quello esterno, quando la carica si distribuisce sulla superficie il campo interno alla sfera è nullo quindi il contributo al calcolo dell'energia è dovuto solo alla presenza del campo all'esterno della sfera. Possibile ?