Relazione tra definizioni di derivata di un vettore

Salve a tutti, sono nuovo nel forum, e non sono sicuro che questa sia la sezione giusta.
Veniamo al dunque: il mio testo di fisica definisce la derivata temporale di un vettore $\mathbf{v} \in \mathbb{R^{3}}$, $\mathbf{v} \equiv (v_x, v_y, v_z)$, come $\frac{d \mathbf{v}}{dt} \equiv (\frac{dv_x}{dt}, \frac{dv_y}{dt}, \frac{dv_z}{dt})$. Ora, se esprimiamo il nostro $\mathbf{v}$ come $\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z$, dove $\hat i$, $\hat j$ e $\hat k$ sono i versori degli assi cartesiani, e deriviamo rispetto al tempo, sempre stando alle parole del testo, dovremo ottenere:
$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z) = \frac{d}{dt}(v_x \hat i) + \frac{d}{dt}(v_y \hat j) + \frac{d}{dt}(v_x \hat k)$. Quindi, essendo nel caso di modulo e direzione di $\mathbf v$ non costanti, abbiamo:
$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = (\hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt}) + v_x \mathbf{\omega} \times \hat i + v_y \mathbf{\omega} \times \hat j + v_z \mathbf{\omega} \times \hat k$, ove $\mathbf{\omega}$ è il vettore velocità angolare in accordo alle formule di Poisson.

Che relazione c'è tra le "due" derivate? Nel senso, mi sto chiedendo perché con il secondo metodo non trovo qualcosa di uguale a $(\hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt})$, come mi aspetterei nel caso dovessi scrivere la prima formula come combinazione lineare dei versori degli assi.

Benvenuto nel forum.
Non si tratta di due derivate o di due metodi differenti; quando derivi l’espressione dove ci sono i tre termini con versori e componenti , stai supponendo che il vettore sia riferito ad una terna mobile, rotante, quindi anche i versori di questa terna mobile vanno derivati, perché variabili rispetto alla terna fissa, e la derivata è espressa dalle formule di Poisson.
Se $omega =0$ , ovviamente questi termini sono nulli.

vettore $v∈R3$, $v≡(v_x,v_y,v_z)$

L'errore sta qui, un vettore non è definito dalle sue componenti ma è una entità indipendente dalla particolare terna in cui è riferito, scrivendo così non si mette in evidenza rispetto a quale terna siano riferite quelle componenti,e scrivendo la derivata così

$dv/dt≡(dv_xd/t,dv_y/dt,dv_z/dt)$.

non si mette in evidenza che si sta facendo una derivata temporale solidale alla terna in cui sono state scritte quelle componenti, ergo queste due formule sono del tutto inutili ed errate.

mi sto chiedendo perché con il secondo metodo non trovo qualcosa di uguale a (iˆdvxdt+jˆdvydt+kˆdvzdt), come mi aspetterei nel caso dovessi scrivere la prima formula come combinazione lineare dei versori degli assi.

Perché appunto quella prima parte è sbagliata e inutile.

Se esprimiamo $vecv$ rispetto a una generica terna $i,j,k$ come $vecv=v_1i+v_2j+v_3k$, se vogliamo fare la derivata temporale di $vecv$ solidale a quella terna, otteniamo $((dvecv)/(dt))_S=(dv_1)/(dt)i+(dv_2)/(dt)j+(dv_3)/(dt)k$, dove $S$ sta per solidale, se invece vogliamo fare la derivata temporale di $vecv$ rispetto a una terna fissa F $(e_1,e_2,e_3)$, allora dobbiamo tenere in conto anche le derivate temporali di (i,j,k) rispetto a $(e_1,e_2,e_3)$, ottenendo la "derivata di Poisson", come la chiamo io:

$(d/(dt))_F=(d/(dt))_S+omega ^^$

Questa relazione ci dice che la derivata della velocità angolare è la stessa sia nel sdr solidale sia in quello fisso.

Innanzitutto grazie per il benvenuto! Allora, vediamo se ho capito bene.
Conveniamo di rappresentare un vettore $\mathbf v \in \mathbb{R}^3$, $\mathbf v = \hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z$, espresso rispetto ad una certa base¹ ${\hat i, \hat j, \hat k}$ di $\mathbb{R}^3$, con la terna $(v_x, v_y, v_z)$ ($\mathbf v$ è così univocamente rappresentato). Ora, la derivata temporale $\frac{d \mathbf v}{dt}$ di $\mathbf v$, espresso rispetto alla nostra base, è data da $\frac{d \mathbf v}{dt} = \hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt} + \mathbf{\omega} \times (\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z)$.

Nel caso in cui $\hat i$, $\hat j$ e $\hat k$ siano costanti, $\omega = 0$, e perciò la precedente può essere scritta semplicemente come $(\frac{dv_x}{dt}, \frac{dv_y}{dt}, \frac{dv_z}{dt})$. Nel caso in cui $\omega \ne 0$, devo tenere conto del termine $\omega \times \mathbf{v}_S$, dove $\mathbf v$ con la $S$ a pedice è da intendersi come il vettore rappresentato rispetto alla nostra base.

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Note

1. di versori ↑

No, fai attenzione. Non è proprio cosí quello che ti ha spiegato Vulplasir. In particolare, quando dici :

Nel caso in cui $\hat i$, $\hat j$ e $\hat k$ siano costanti, $\omega = 0$

l'implicazione è vera al contrario : se la velocità angolare è nulla , i versori della terna mobile non ruotano e le loro derivate , esprimibili con le formule di Poisson, sono nulle .

Ma non ce l'hai un buon libro di calcolo vettoriale ? Lascio la replica a Vulplasir.

Ora, la derivata temporale $ \frac{d \mathbf v}{dt} $ di $ \mathbf v $, espresso rispetto alla nostra base, è data da $ \frac{d \mathbf v}{dt} = \hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt} + \mathbf{\omega} \times (\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z) $.

No, la derivata temporale di $vecv$ rispetto a quella base, ossia come quel vettore varia se osservato da un osservatore solidale a quella base, è data solo da $ \frac{d \mathbf v}{dt} = \hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt}$ proprio perché quell'osseratore, essendo solidale alla base, NON vede variare i versori $(i,j,k)$, quando invece vuoi determinare come varia $vecv$ se osservato da un osservatore su una terna fissa $(e_1, e_2, e_3)$ (ma $vecv$ è ancora riferito alla terna (i,j,k)) devi considerare anche la derivata dei versori (i,j,k) rispetto alla terna (e1,e2,e3), le derivate di questi versori rispetto a (e1,e3,e3) sono legate a $vec omega$, e ottieni :

$ \frac{d \mathbf v}{dt} = \hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt} + \mathbf{\omega} \times (\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z) $.

Esempio banale:


Hai un vettore v, una base (i,j) mobile e una fissa (e1,e2), se la base (i,j) e il vettore v ruotano solidalmente come in figura, allora v rispetto a (i,j) non è variato, quindi facendo la derivata di v rispetto a un osservatore solidale a (i,j) otterresti zero, però rispetto alla base (e1,e2) invece v risulta ruotato, quindi la derivata di v vista da (e1,e2) non è nulla ed è pari a $omega xx v$, dove $omega$ è la velocità angolare con cui ruota (i,j)