Cilindro cavo e campo magnetico

Buongiorno,
Una superficie cilindrica con asse lungo $z$ di raggio $a$ e altezza $h$ ha una resistenza $R$ e un'autoinduttanza $L$.Nello spazio è presente un campo magnetico $B$ diretto lungo $z$. Il campo magnetico $B$ è nullo per $t<0$ e pari a $B_0$ (costante) per $t>0$. Devo calcolare 1) la corrente nel cilindro e 2)la forza elettromotrice indotta all'interno del cilindro dal campo magnetico in funzione del tempo.

Per quanto riguarda 1) la corrente avrà una discontinuità in $t=0$ dopodiché seguirà l'andamento di un esponenziale decrescente pari a $i(t)=ce^(-R/Lt)$ con c costante da determinare con la condizione iniziale. Come calcolo la condizione iniziale? Pensavo di fare così $ \int_{0^-}^{0^+}Ridt = - \int_{0^-}^{0^+}(Ldi/(dt) + \pi a^2 dB/(dt))dt$ per ricavarmi la corrente in $t=0^+$ ma evidentemente il primo membro mi dà problemi.

Stesso discorso per la forza elettromotrice 2) $2\pi r E_(\theta) = \pi r^2 dB/(dt)$. Come calcolo $E_(\theta)$ per integrazione?Dovrebbe venirmi un'impulso nell'origine credo.

Grazie

... Come calcolo la condizione iniziale? ...

Direi che se dai un'occhiata all'equazione differenziale lo vedi subito quale sarà la discontinuità per la corrente in t=0.

L'unica cosa che mi viene in mente è che se integro una quantità finita ($Ri$) in un intervallo infinitesimo $dt$ l'integrale a sinistra dovrebbe fare zero. Potrebbe andare? Tuttavia come faccio ad assicurarmi che $i$ sia una quantità finita? Col punto 2) sono proprio bloccato. Potresti darmi un aiuto in più?

Scusa, ma leggi le risposte che ti si danno?

Certo! É per questo che ho fatto il post. Solo che non riesco a capire cosa dovrei vedere. Potresti chiarire cosa intedi per favore?

Certo, ti va di postare l'equazione differenziale associata al sistema?

L'equazione dovrebbe essere questa $Ri = -Ldi/(dt) - pi a^2 dB/(dt)$. Non so come procedere a causa della discontinuità di $B$.

Diciamo quindi che è del tipo

$L\frac{text {d}i(t)}{\text {d}t} +Ri(t)=k \delta(t) $

e a questo punto ti chiedo: qual'è l'unico possibile "bilanciamento" di quella uguaglianza?

Il problema puoi anche risolverlo via Laplace, scrivendo la funzione di trasferimento per la rete R L come rapporto uscita/ingresso \(H(s)=I(s)/V(s)\) e ricordando che l'antitrasformata di $H(s)$ corrisponde alla risposta del sistema ad un ingresso ...

Mmm direi che anche $Ldi/(dt) =Li_0 \delta(t)$? Ed $Ri$? Scusami ma sull'argomento non credo di essere molto preparato...

Intendo dire che un impulso non può che essere "bilanciato" da un altro impulso di pari ampiezza, e quindi

$L[i(0^+)-i(0^-)]=k$

mentre il termine finito è ininfluente in questo bilanciamento¹; normalmente in elettronica si dimostra risolvendo l'equazione differenziale via Laplace.

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Note

1. Equivalente al tuo metodo integrale che, segni a parte, è corretto. ↑