Moto Circolare - Giro della Morte

Il carrello di un ottovolante ha massa $m = 50 kg$. Quanto deve essere alto il punto di partenza del percorso perchè il carrello riesca a compiere un giro della morte di raggio $R = 2 m$? (si dia la altezza rispetto al punto più basso del giro della morte)

Quello che ho provato a fare è:
1) Sicuramente $h>= 2R$
2) La v è costante $->$ moto circolare uniforme

Il problema è che non riesco a trovare l'equazione che possa determinare $h$.

Grazie.

Quest problemi degli otto volanti vi fanno diventare matti

Il carrello deve arrivare nel punto piu alto con una velocita' minima tale da garantire che il carrello non si stacchi (nell'ipotesi che non sia vincolato, ipotesi moooolto pericolosa).
Qual e' questa velocita'?

Determinata la velocita' in questione, devi eguagliare l'energia meccanica tra il punto di partenza della pista e il punto piu' alto del circolo.

Prova un po' ora

Ho fatto quanto segue:

- Energia meccanica nel punto più alto $-> (mg2R)+1/2mv^2$
- Energia potenziale nel punto iniziale $-> mgh$
- Eguagliandole pero', mi ritrovo con due incognite : $v$ e $h$

Perche la velocita deve anche essere tale da garantire che il corpo non si stacchi quando arriva al culmine del giro.
Come la scrivi questa condizione?

Forse ho capito, intendi usare la Forza Centrifuga? Se sì, se ne può fare a meno?

Forse ho capito, intendi usare la Forza Centrifuga? Se sì, se ne può fare a meno?

No.

Il moto non è circolare uniforme, la guida è in un piano verticale e il carrello è soggetto alla gravità.

Quello che hai scritto, applicando la conservazione dell'energia , va bene, però non basta, come hai notato, perchè ci vuole una condizione sulla velocità, come ti ha fatto notare profkappa. La condizione è che la velocità del carrello, nel punto più alto della guida, sia la minima possibile, in grado di assicurare tuttavia che il carrello non cada per gravità staccandosi dalla guida , che è un vincolo unilatero. Questa condizione si ricava da semplici considerazioni di dinamica.
Come prima cosa , nota che la guida esercita sul carrello, in ogni punto del percorso, una reazione vincolare $vecN$ , che è localmente perpendicolare alla tangente alla guida, supponendo che questa sia liscia. Nella figura allegata, ho supposto che il primo tratto della discesa sia rettilineo (ma questo non è assolutamente necessario per il caso in esame , è solo una esemplificazione) , sicché in un punto come $A$ si vede facilmente che il modulo di $vecN$ vale :

$N = |vecN| = mgcos\theta$

ovviamente il carrello è sottoposto anche alla forza peso $vecP$ , quindi la seconda equazione della dinamica si scrive :

$vecP + vecN = mveca $

Anche quando il carrello si trova in moto sulla parte circolare della guida è sottoposto alla reazione normale $vecN$, diretta radialmente verso il centro e di modulo variabile , e al peso $vecP$ , sicché vale la 2º equazione della dinamica prima scritta , in tutti i punti. In un punto generico $Q$ , proiettando le due forze sulla direzione radiale, positiva verso il centro, che forma l'angolo $alpha$ con la verticale discendente, si ha :

$ N-mgcos\alpha = ma_c$

dove $a_c$ è il modulo dell'accelerazione centripeta : $ a_c = v^2/r$ , come si sa dalla cinematica.

Vediamo che succede in due punti significativi. Nel punto più basso $B$, entrambi i vettori $vecP$ e $vecN$ sono radiali, ma $vecN$ è diretto verso il centro mentre $vecP$ è diretto in basso: cioè la reazione della guida e il peso sono discordi. Si ha : $cos\alpha = 1 $, perciò :

$N-mg = ma_c\rightarrow N = m(g+a_c)$

cioè la reazione $vecN$ deve bilanciare il peso $vecP$ e fornire la forza centripeta $mveca_c$ .

Ma ci interessa quello che succede nel punto più alto $C$ . Qui, entrambi i vettori sono radiali e diretti verso il basso, l'angolo è $alpha = \pi$ , quindi $cos \alpha = -1$ . La 2º equazione della dinamica, proiettata sul raggio verticale, è:

$N+mg = ma_c$

da cui si ricava che : $N = m(a_c-g) = m (v^2/r-g) $

qui, più è grande $v^2$ ( e quindi $v$ ) , maggiore è $N$ . Evidentemente, il valore minimo di $v^2$ si ha quando la reazione vincolare ha modulo nullo, cioè per :

$N=0$

il che può avvenire quando : $v^2/r -g = 0 \rightarrow v = sqrt(gr) $

Ecco, in tal caso il carrello arriva in $C$ con la velocità minima, con la forza centripeta data dalla sola forza peso , e quindi accelerazione centripeta $ v^2/r = g$ . La reazione della guida in questo istante è nulla , tuttavia il carrello non cade, ha velocità e quindi energia cinetica sufficiente per superare il punto, e subito dopo tale istante la forza di reazione della guida torna a manifestarsi e la velocità comincia ad aumentare.

Ora è facile : sostituendo $v=sqrt(gr)$ nell'equazione di conservazione dell'energia meccanica totale che hai scritto , puoi ricavare quanto deve essere l'altezza $H$ minima perché il carrello compia il giro della morte.

Devi trovare che : $ H = 2.5 r $ . Questa è la figura :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Grazie mille.