Urto tra carrelli

Buonasera, in questo esercizio proposto

Un treno di massa m 1 si muove lungo un bina- rio rettilineo orizzontale privo di attrito alla velocita iniziale v 1 ed urta contro un secondo treno di massa m 2 che si muove sullo stesso binario e nello stesso verso ma con velocita iniziale v 2 . Assumendo che l’urto sia perfettamente elastico e schematizzando i respingenti dei treni come un’unica molla di costante elastica k , calcolare quanto vale la sua massima compressione durante l’urto

ho impostato la conservazione dell'energia meccanica essendo la molla fautrice di una forza conservativa, cioè
$1/2kx^2=1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_1^2$ e pensavo fosse sufficiente per risolvere il problema avendo imposto come "0" la molla a riposo inizialmente.

Però nella soluzione guidata imposta l'esercizio con la stessa equazione che ho riportato, ma riferita al centro di massa (le velocità v' riferite al sistema di rif. centro di massa) e non credo di capire perché

... pensavo fosse sufficiente per risolvere il problema ...

Se, quando la molla assume la compressione massima, l'energia cinetica fosse nulla, non si conserverebbe la quantità di moto. Tuttavia, affinché la quantità di moto si conservi, i due carrelli hanno la stessa velocità uguale a quella del centro di massa prima dell'urto:

$v_(CM)=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)$

Infine, conservando anche l'energia meccanica:

$1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2(m_1+m_2)v_(CM)^2+1/2kx^2 rarr$

$rarr m_1v_1^2+m_2v_2^2=(m_1v_1+m_2v_2)^2/(m_1+m_2)+kx^2$

Solo nel sistema di riferimento del centro di massa, nel quale la quantità di moto è nulla, si può procedere scrivendo:

$[1/2m_1barv_1^2+1/2m_2barv_2^2=1/2kx^2] ^^ [barv_1=v_1-v_(CM)] ^^ [barv_2=v_2-v_(CM)]$

I due procedimenti sono equivalenti.

Ecco, grazie, perché non riuscivo a capire i suggerimenti di svolgimento riportati nel testo.

In effetti mi ero inizialmente scritto
$m_1v_1-m_2v_2=(m_1+m_2)v_f$ per gli urti completamente anelastici (cosa che è finché non respinge), non accorgendomi che sarebbe a tutti gli effetti (portando di la le masse) la velocità del centro di massa a metà urto (cioè prima che la molla inizi la fase di respingimento)


L'unica cosa che non ho capito è questa: di solito si studia prima e dopo l'urto e non mi era mai capitato un esercizio di studio del "mentre accade l'urto", se ho ben capito si deve procedere come fosse un urto anelastico fino alla fase di massima compressione della molla, però il dubbio mi sorge perché durante gli urti completamente anelastici non si conserverebbe l'energia meccanica, invece noi abbiamo usato questo principio di conservazione. Perché si può fare (di solito con gli urti completamente anelastici non succede però)?

Ultima modifica di martao il 01/04/2018, 09:34, modificato 1 volta in totale.

Poiché, quando la molla assume la compressione massima, i due carrelli hanno la stessa velocità, nel secondo membro dell'equazione che esprime la conservazione dell'energia meccanica:

$1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2(m_1+m_2)v_(CM)^2+1/2kx^2$

compare un solo termine relativo all'energia cinetica come se l'urto fosse totalmente anelastico. Tuttavia, poiché l'energia meccanica si conserva, l'analogia è puramente formale. Piuttosto, per comprendere più a fondo il motivo per cui i due carrelli hanno la stessa velocità, si deve osservare che, poiché la lunghezza istantanea della molla è uguale alla differenza tra le due ascisse istantanee dei carrelli:

$[l(t)=x_2(t)-x_1(t)] ^^ [l(t)=l_(min)] rarr$

$rarr (dl)/(dt)=(dx_2)/(dt)-(dx_1)/(dt)=0 rarr$

$rarr (dx_2)/(dt)=(dx_1)/(dt)$

Ultima modifica di anonymous_0b37e9 il 02/04/2018, 18:41, modificato 1 volta in totale.

Non l'avrei mai visto così, grazie!