Salve a tutti, sono alle prese con un nuovo problema in cui credo di sbagliare il calcolo del lavoro, spero in una vostro aiuto
L'esercizio è questo
Una sfera omogenea di massa $M$ e raggio $R$ rotola, senza strisciare, su un piano inclinato rispetto al suolo di un angolo $theta$.Nell'ipotesi che all'istante $t=0$ la sfera, da ferma, venga lasciata andare sul piano inclinato, ricavare l'espressione della velocità $v_c$ del centro di massa dopo $t$ secondi dall'inizio del moto.
La risposta è $v_c=(5/7*gsin(theta))*t$
Ho ragionato in questo modo:
Ho prima di tutto considerato il fatto che la sfera ha un moto di "puro rotolamento" ( credo sia sinonimo di rotola senza scivolare)
Dunque se prendo un sistema di riferimento con origine nel centro di massa e solidale alla palla, avrò che la velocità del punto di contatto tra suolo e palla è $0=v_c + w x R$ e quindi $v_c = wR$ ( qui la spiegazione che mi do è che alla fine potrei prendere pure un altro punto sulla circonferenza, la relazione conserverebbe comunque il suo valore, quindi alla fine mi sposto nel punto opposto a quello iniziale conservando il segno.Gradirei conferma
)
Quindi ricavo la prima relazione che $wR=v_c$
Adesso, visto che oltre alla forza peso non c'è nessun altra forza, posso usare il teorema delle forze vive calcolando il lavoro con essa
$1/2 M *(v_c)^2 + 1/2*Iw^2 = L$
L'inerzia è $I=2/5*M*R^2$
Quindi $1/2 * M *(v_c)^2 + 1/5(v_c)^2 = L$ dove ho usato la relazione ricavata precedentemente.
Adesso viene il momento di calcolare il lavoro e iniziano i veri guai
Dato che lui mi chiede la velocità della sfera in un generico istante $t$ devo in qualche modo ricondurre l'integrando a essere dipendente dalla variazione di $t$, quindi
$L=int_(0)^(s) Mgsin(theta)ds = int_(0)^(s) Mgsin(theta)(ds)/dt *dt = int_(0)^(t) Mgsin(theta)*v_c*dt$
Quindi $1/2 * M *(v_c)^2 + 1/5(v_c)^2 = Mgsin(theta)v_c*t$
Scarto la soluzione $v_c=0$ perchè visto che non c'è attrito, in questo caso non c'è nessuna forza che si oppone al moto.
Praticamente divido per $v_c$ e faccio qualche calcolo ottenendo
$v_c = 10/7*g*sin(theta)*t$
Che è esattamente il doppio di quanto dovrebbe essere