Palla da bowling

Una palla da bowling omogenea, di massa \( m \), di raggio \( R \) e di momento d'inerzia \( I_G = \frac{2}{5} m R^2 \) per rapporto ad un asse passante per il suo centro di massa \( G \), è lanciata sul suolo orrizzontale. Al tempo \( t_0 =0 \), la palla scivola sul suolo con una velocità di centro di massa \( \vec{v}_G(t_0) = \vec{v}_0 \) orizzontale e una velocità angolare di rotazione \( \vec{\omega}(t_0)=\vec{0} \). A causa dell'attrito sul suolo, la palla si mette a ruoteare ed il rotolamento diventa senza scivolamento al tempo \( t_1 \). Il coefficiente d'attrito cinetico è \( \mu_{c} \) e il coefficente d'attrito statico è \( \mu_s \). Trascuriamo tutti gli attriti dell'aria.

a) Scrivere le equazioni differenziali del moto della palla tra \( t_0 \) e \(t_1\)
b) Calcolare il tempo \( t_1 \)

Per il punto a) ho pensato che siccome la palla tra \( t_0 \) e \( t_1 \) scivola allora l'attrito è cinetico siccome il punto d'applicazione della forza d'attrito (che chiamerò \( P \) ha velocità uguale a quella del centro di massa \( G \) dunque la velocità non è nulla e l'attrito è cinetico. Pertanto le forze in gioco sono il peso, la forza normale e l'attrito
\( \vec{P} = -mg \widehat{e}_y \), \( \vec{N}=N\widehat{e}_y \) e la forza d'attrito cinetico \( \vec{F} = - \mu_c N \widehat{e}_x \)
Dunque per la seconda legge di Newtonle equazioni del moto sono su \( \widehat{e}_y \)
\( N -mg = 0\); e su \( \widehat{e}_x \):
\( -\mu_c N = m \ddot{x} \)
Da cui deduciamo che \( -\mu_c mg = m \ddot{x} \Rightarrow \ddot{x} = -\mu_c g \)

L'unica forza che applica un momento di forza è l'attrito dunque
\( M_G(\vec{F}) = - \mu_c mg R =\dot{\omega } I_G = \dot{\omega }\frac{2}{5}mR^2 \Rightarrow \dot{\omega }= -\frac{5g\mu_c }{2R} \)

Per il punto b) Al tempo \( t_1 \) l'attrito diviene statico in quanto la palla inizia a ruoteare senza scivolare e pertanto il punto d'applicazione del attrito ha velocità nulla. Pertanto abbiamo la condizione su \( t_1 \) è che la velocità in \( P \) è nulla o in modo analogo che la velocità in \( G \) è uguale a \( \omega R \).
\[ \int \ddot{x} dt = -\mu_cgt + v_0 \]
E pertanto abbiamo che \( -\mu_c gt_1 + v_0 = \omega R \) il fatto che \( \omega \) come lo trovo? \( \omega \) posso integrarlo rispetto al tempo? Perché se non sbaglio \( \omega = \dot{\theta}(t) \) dunque posso integrare \( \ddot{\theta}(t) \) per ottenere \( \omega = -\frac{5g\mu_c }{2R} t \) e dunque
\( -\mu_c gt_1 + v_0 = -\frac{5g\mu_c }{2} t_1 \Rightarrow t_1 = - \frac{5v_0}{3g\mu_c} \) che mi esce un tempo negativo, e dunque ho fatto almeno un errore di segno da qualche parte. È corretto il ragionamento? Grazie mille

C'è una prima parte del moto, in cui la palla rotola e striscia. LA velocità di traslazione del CM diminuisce , dal valore $v_0$ al valore finale $v_f$ , mentre la velocità angolare aumenta , dal valore $omega_0=0$ al valore $omega_f = v_f/R$ , e in questo istante inizia il puro rotolamento , in cui la velocità di traslazione e quella di rotazione rimangono costanti. Determiamo la velocità $v_f$ di "fine strisciamento".

L'unica forza agente che ci interessa , nella prima parte, è la forza di attrito $f = \mumg$ , diretta in verso contrario al moto. Il coefficiente di attrito è quello cinetico, naturalmente, cui non metto il pedice per semplificare la scrittura. Peso e reazione del piano si fanno equilibrio.

Prendiamo come polo un punto qualsiasi del piano di strisciamento. La forza di attrito ha momento nullo rispetto a questo polo. Quindi Se calcoliamo il momento angolare della palla rispetto a questo polo, esso deve rimanere costante.
Dunque si può scrivere che il momento angolare iniziale , rispetto al polo detto , è costante in tutto il moto. Perciò :

$mv_0R = mv_fR + I\omega_f = mv_f R + 2/5mR^2v_f/R = 7/5mv_fR$

da cui : $ v_f = 5/7v_0$ .

Si può arrivare a questo valore anche per altra via, trovando l'accelerazione angolare dalla 2º cardinale della dinamica , con polo nel CM :

$F_a*R = I*alpha$ . Vedi dopo.

Durante la prima parte, in cui l'accelerazione del CM è contraria al moto, si ha quindi :
$ddotx = -\mug$
$dotx = v = v_0 - \mug*t$

la durata $t_1$ dello strisciamento si ricava da : $5/7v_0 = v_0 - \mug*t_1$ , cioè risulta : $t_1= 2/7 v_0/(\mug)$

lo spazio percorso in tale fase è dato da : $ x = v_0t_1 - 1/2 \mug*t_1^2 = (12)/(49)v_0^2/(\mug)$

la velocità angolare del rotolamento puro è : $\omega_f = v_f/R$

L'accelerazione angolare , prodotta dalla forza di attrito vale :
$\alpha = 5/2(\mug)/R$ . Ma quando si instaura il rotolamento puro, l'accelerazione angolare va a zero. Integrando , si ha l'espressione della velocità angolare durante la prima parte :

$omega = 5/2(\mug)/R*t $

Infine, nello strisciamento l'energia perduta vale : $\Delta E = 1/2mv_0^2 - (1/2mv_f^2 + 1/2 I\omega_f^2) = 1/7 mv_0^2$

Come detto, teoricamente nel rotolamento puro le velocità di traslazione e di rotazione non cambiano, e neanche l'energia cambia . Risulta infatti , nel caso in esame :

$E_0 = 1/2mv_0^2 $ ( all'istante iniziale del moto con strisciamento)
$E_f = (1/2-1/7 )mv_0^2 = 5/(14)mv_0^2 = 5/7E_0$ ( durante il rotolamento puro)

Quindi, riassumendo: nella prima parte del moto la velocità di traslazione diminuisce, quella angolare aumenta , e le equazioni del moto sono :

$ v = v_0 - \mug*t $ , da cui : $ x = v_0t -1/2\mug*t^2 $
$ \omega = \alpha t $ , da cui : $ \theta = 1/2 \alphat^2 $

La velocità finale di traslazione di questa prima fase è quella già calcolata con la conservazione del momento angolare : $ v_f=5/7v_0 $ . Il tempo è quello gia calcolato $ t_1 = 2/7v_0/(\mug) $ , e la velocita angolare corrispondente è $ \omega _f = v_f/R $

Forse ho ripetuto alcuni concetti più volte, e ho aggiunto cose non richieste dall'esercizio . MA repetita juvant

Scusa la tarda risposta, ma grazie mille

...
Quindi Se calcoliamo il momento angolare della palla rispetto a questo polo, esso deve rimanere costante.
Dunque si può scrivere che il momento angolare iniziale , rispetto al polo detto , è costante in tutto il moto. Perciò :

$mv_0R = mv_fR + I\omega_f = mv_f R + 2/5mR^2v_f/R = 7/5mv_fR$

da cui : $ v_f = 5/7v_0$ .

Si può arrivare a questo valore anche per altra via, trovando l'accelerazione angolare dalla 2º cardinale della dinamica , con polo nel CM :

$F_a*R = I*alpha$ . Vedi dopo.

...

Ciao Shackle!

Non scrivo per criticare, ma per capire.
All'inizio della risposta, per trovare la velocità del centro di massa nell'istante in cui si instaura il rotolamento puro, hai utilizzato il principio di conservazione del momento angolare.
Quello che mi chiedo è:
Dal momento che tra l'istante iniziale ed il suddetto istante entra in gioco la forza di attrito del piano (ovvero una forza esterna al disco), il momento angolare non si conserva, e non potrei dunque applicare tale equazione.
Sbaglio nel dire ciò?

Se prendi come polo un punto del piano, la forza di attrito ha momento nullo rispetto ad esso. Quindi il momento angolare iniziale si conserva.

Se prendi come polo un punto del piano, la forza di attrito ha momento nullo rispetto ad esso. Quindi il momento angolare iniziale si conserva.

Il tuo ragionamento non fa una piega, però sento le mie basi teoriche scricchiolare.
Quindi in un sistema scelto posso avere conservazione del momento angolare se prendo un centro di riduzione oppure non averla se ne prendo un altro?
Io pensavo che, dato un determinato sistema ed un intervallo di tempo, si potesse dire in maniera "assoluta" se ci fosse conservazione del momento angolare o meno.

Quindi in un sistema scelto posso avere conservazione del momento angolare se prendo un centro di riduzione oppure non averla se ne prendo un altro?

No, ti stai confondendo. Se un sistema ha un certo momento angolare , rispetto a un dato polo, la seconda eq cardinale dice che esso varia se c'è un momento di forze esterne agenti sul sistema , calcolato rispetto allo stesso polo. È l'unica ragione per cui il momento angolare possa cambiare: momento di forze esterne.
Se cambi polo, cambia il momento angolare , ma cambia pure l'eventuale momento di forze esterne. La scelta del polo, purché sia lo stesso sia per il momento angolare che per il momento delle forze, non incide sulla conservazione o meno.

Nel caso della palla da bowling, il momento angolare iniziale si conserva, come detto. E infatti, al secondo membro hai un momento angolare che è somma di due termini , uno dovuto alla velocità di traslazione , l'altro dovuto alla rotazione : se il primo termine diminuisce , il secondo deve aumentare , perchè la somma deve rimanere costante. Non farti fregare dalla sola velocità angolare della palla, che cresce fino a che non si arriva al rotolamento puro (vedi l'altro thread sulla "instaurazione del rotolamento puro" ) .

...

No, ti stai confondendo. Se un sistema ha un certo momento angolare , rispetto a un dato polo, la seconda eq cardinale dice che esso varia se c'è un momento di forze esterne agenti sul sistema , calcolato rispetto allo stesso polo. È l'unica ragione per cui il momento angolare possa cambiare: momento di forze esterne.
Se cambi polo, cambia il momento angolare , ma cambia pure l'eventuale momento di forze esterne. La scelta del polo, purché sia lo stesso sia per il momento angolare che per il momento delle forze, non incide sulla conservazione o meno.
...

Chiarissimo Shackle, grazie mille!!!