Corpo rigido e variazione di quota del CM

Mi scuso per l'insistenza di questa mattina ma sto avendo diversi dubbi quest'oggi. Il testo è il seguente:



"Un corpo rigido è costituito da un’asta di massa $m=8$ $kg$ e lunghezza $d=0.5$ $m$ e da un disco di massa $M=24$ $kg$ e raggio $R=0.125$ $m$, saldati nel punto $O$ (vedi figura) e può ruotare liberamente attorno ad un asse perpendicolare al disegno e passante per il punto di saldatura O. Per mantenere il sistema in equilibrio statico, con l’asta orizzontale, viene applicata una forza $F$ sull'estremo libero dell’asta e perpendicolarmente all'asta stessa. Determinare:
a) Il modulo di $F$ e della reazione normale $N$ in $O$.

Viene poi eliminata la forza $F$ e il corpo ruota sotto l’azione delle forze gravitazionali, con l'asta che sale e la sfera che scende.
Determinare:
b) L’accelerazione angolare del sistema nell'istante iniziale del moto
c) La velocità angolare del sistema quando l’asta è verticale."

[Svolgimento]
Ho scelto un sistema di coordinate tale che l'origine sia in $O$, l'asse $x$ rivolto a destra, l'asse $y$ rivolto verso l'alto e l'asse $z$ ortogonale al piano di scrittura in verso uscente (ovvero dal foglio verso di noi).

a)Per calcolare il modulo di $F$ e della reazione $N$ ho imposto le condizioni di equilibrio statico del corpo rigido, ovvero:

$ { ( vecM = 0 ),( vecF = 0 ):} $

e calcolando i momenti delle forze in gioco rispetto al polo $O$ ho trovato che $F = 19.6$ $N$ e che $N = 334$ $N$ circa.

b) Per trovare l'accelerazione angolare $\alpha$ ho imposto stavolta che
$vecM = I_z * vec\alpha$.
Il modulo di $M$ l'avevo in parte calcolato prima, ho però eliminato il contributo dovuto alla forza $F$ dato che adesso ha smesso di agire, trovando $M = -9.81$ $Nm$.
$I_z = 1.19$ $Kg*m^2$, valore trovato applicando Huygens-Steiner per la sfera e per l'asta.

Pertanto:
$M = - I_z \alpha$ (il meno deriva dal fatto che il sistema compie rotazioni in senso orario per cui il vettore accelerazione angolare sarà discorde rispetto all'asse $z$ che ho scelto) trovando che

$\alpha = - M /I_z = 8.24$ $(rad)/s^2$.

c) Fin qui sono andato spedito, il mio dubbio viene adesso. Per calcolare la velocità angolare del sistema posso applicare il principio di conservazione dell'energia dato che non agiscono attriti. Ho calcolato la posizione del $CM$ quando il sistema si trova in equilibrio orizzontale trovando che $x_(CM) = 0.031$ $m$ circa. Quindi il $CM$ si trova molto vicino al punto $O$.

Per calcolare la velocità angolare applico come detto il PCEM:

$E_(Mi) = E_(Mf)$

Ho qualche intoppo con l'energia potenziale dovuta alla quota del $CM$. Quando il corpo è in equilibrio statico, ovvero nella fase iniziale del problema, il $CM$ si trova nel punto $(x_(CM),0)$ pertanto l'energia potenziale in questo caso sarà nulla. Anche l'energia cinetica rotazionale sarà nulla essendo il sistema in quiete. Dunque $E_(Mi) = 0$.

Nel momento in cui il sistema inizia a ruotare, non riesco a capire che segno dare alla variazione di quota del $CM$. Quando il corpo ruota attorno al punto $O$, devo far ruotare anche il sistema di coordinate o gli assi restano fissi nelle loro posizioni iniziali?

Anche perchè il testo parla di "velocità angolare quando l'asta è verticale", ma supponendo delle rotazioni complete l'asta può essere verticale con la sfera sotto o verticale con la sfera sopra.

Quando il tutto è verticale, il CM si trova ovviamente nella posizione, $(0,-x_(CM))$
Quanto al tuo dubbio sulla posizione del disco, te lo dice il testo che il disco scende. Di sicuro, anche pensando che si metta ad oscillare, non risalirà oltre l'orizzontale, ti pare?

Ultima modifica di mgrau il 16/01/2019, 12:28, modificato 1 volta in totale.

Quando il tutto è verticale, il CM si trova ovviamente nella posizione, $(0,-x_(CM))$

Potresti spiegarmi perché? non riesco a inquadrare bene il motivo.
Il punto $(0,-x_(CM))$ in cui si viene a trovare il $CM$ dipende dal sistema di coordinate che ho scelto oppure è svincolato da tale scelta?

Nelle rotazioni del corpo devo far ruotare anche gli assi?

Potresti spiegarmi perché? non riesco a inquadrare bene il motivo.

Oh, bella! Il sistema ruota di 1/4 di giro, e il CM fa lo stesso...

Quanto al tuo dubbio sulla posizione del disco, te lo dice il testo che il disco scende. Di sicuro, anche pensando che si metta ad oscillare, non risalirà oltre l'orizzontale, ti pare?

Hai ragione, mi scuso. Credevo che il corpo ruotasse compiendo una intera circonferenza. La rotazione avviene sotto l'azione della forza peso, per cui si dispone con la sfera sotto e l'asta sopra e così si ferma.

Il punto $(0,-x_(CM))$ in cui si viene a trovare il $CM$ dipende dal sistema di coordinate che ho scelto oppure è svincolato da tale scelta?

Ho fatto questa domanda perché il libro di testo prende un asse $y$ rivolto verso il basso, dunque contrario al mio. Eppure dalle soluzioni risulta ancora il punto $(0,-x_(CM))$ per il $CM$ dopo che il sistema avrà compiuto $1/4$ di giro.