Commutatori [x,H] e [p,H]

Buondì di nuovo, ho qui un esercizio che davvero non capisco. Mi viene data una particella in 1D, con energia potenziale V(x). Viene chiesto di trovare i commutatori $[hatx, hatH]$ e $[hatp, hatH]$

I problemi sono due:

1) so che il primo commutatore dovrebbe venire $ibarhhatp/m$, ma facendo i conti per esteso non riesco ad arrivare a questo risultato. Ho una soluzione, che però usa l'algebra dei commutatori; il che va bene, ma vorrei anche arrivarvi facendomi i conti.

2) Questo problema nasce dal metodo di risoluzione della prima domanda. In teoria so che se la particella è libera, allora $[hatp, hatH]=0$. Qui però c'è un potenziale che dà origine all'operatore $hatV=V(x)$... però nella domanda precedente, per far tornare i conti ha posto $hatV=0$, e allora sono confuso.

Allego un'immagine per comodità di lettura



Grazie

Non so se nel frattempo hai risolto il problema, ad ogni modo visto che hai postato una foto, comincio da quella.

Come hai osservato $hat(x)$ e $hat(p)$ si comportano diversamente rispetto a $hat(V)(x)$ nella commutazione, il motivo è semplice:

l'operatore $hat(x)$ è semplicemente un operatore moltiplicativo che moltiplica per la variabile $x$
e $hat(V)(x)$ allo stesso modo è semplicemente una funzione di x, ma allora è ovvio che commutino.
Quindi non sta ponendo $hat(V)=0$

Al contrario $hat(p)$ fa la derivata rispetto a $x$ quindi si può capire perché non commuta con $hat(V)(x)$, come giustamente si vede nella foto

Che sciocco, hai perfettamente ragione, grazie mille! Per quanto riguarda il primo punto, invece, devo per forza usare le proprietà dei commutatori? O posso per dire considerare $hatp^2=-barh^2partial^2/(partialx^2)$ e fare i conti per esteso? Perché il risultato, senza proprietà, non mi torna (è probabile che sbagli i conti, ma chiedo casomai il problema fosse il procedimento).

spero ti sia utile

Infinitamente, meglio che non ti dica l'errore che facevo... grazie mille!