Ho ritagliato un po' di tempo. Non so se alla fine sei riuscito, ma ti rispondo bene lo stesso. Vediamo un caso più generale al tuo, tanto prima o poi ti capiterà. Consideriamo la particella anche dotata di spin, in quel campo omogeneo e costante generato da quel potenziale vettore. Quindi oltre al tuo caso avremo anche altri due addendi, cioè $p_z^2/(2m)$ e $-\mu B s_z$ ($\mu$ presa per assorbire tutte le costanti del caso).
Con un calcolo simile al tuo si giunge all'hamiltoniana
$H=1/(2m)[(p_x+eB/c y)^2+p_y^2+p_z^2]-\muBs_z$
l'operatore di spin commuta con tutto quindi si conserva e possiamo valutarne l'autovalore che chiamo semplicemente $s$. Essendo ormai una semplice costante possiamo formalmente scrivere l'eq di Sch. come al solito, valutando solo la dipendenza della funzione d'onda dalle coordinate.
Scriviamo quindi
$1/(2m) [(p_x+eB/c y)^2+p_y^2+p_z^2]\psi - \muBs \psi = E \psi$
Come dicevo la mancata dipendenza esplicita da $x,z$ fa sì che le componenti relative della q di m generalizzata si conservano .
A questo punto possiamo cominciare a dare forma alla funzione d'onda che sarà qualcosa del tipo (la h è h tagliato, ma ormai sei un quantoman esperto
)
$\psi=e^(i/h p_x x) e^(i/h p_z z)\phi(y)$
ed ovviamente i valori degli impulsi conservati possono essere quello che vogliono su tutto l'asse reale.
Come si diceva lungo $z$ non c'è nessuna componente del potenziale vettore quindi in realtà l'impulso generalizzato è, come spesso accade, proprio quello ordinario $mv_z$ , quindi non c'è quantizzazione del moto lungo la direzione del campo.
Ora sostituendo nell'eq di Sch che abbiamo scritto, quella forma della $\psi$, troverai che (ricorda che $p_x$ e $p_z$ sono numeri! Come operatore resta solo la derivata seconda lungo y)
$\phi''+2m/h^2 {E+\mu B s-p_z^2/(2m)-1/2 e^2B^2/(mc^2) (y^2+c^2p_x^2/(e^2B^2)-2ycp_x/(eB))}\phi=0$
se scriviamo $\barE=E+\mu B s-p_z^2/(2m)$ ed $\omega=|e| B/(mc)$ e lo shift del centro di oscillazione come $\bary=-cp_x/(eB)$
Tutto diventa più evidente
$\phi''+2m/h^2 {\barE-m/2 \omega^2 (y-\bary)^2}\phi=0$
Ed ormai è chiaro che questo è un oscillatore armonico decentrato, il cui spettro è
$\barE=(n+1/2) h \omega$ ma allora ricavando la $E$ (che se ce ne fossimo dimenticati era lo spettro iniziale che ci interessava)
$E=(n+1/2) h \omega-\mu B s + p_z^2/(2m)$
e finalmente abbiamo trovato le energie in cui l'oscillatore armonico e lo spin determinano la parte discreta dello spettro, mentre la parte continua è data dal valore della velocità della particella lungo $z$.
Nel tuo caso la particella ha spin 0 e si muove nel piano, quindi rimane solo
$E=(n+1/2) h \omega$ ricordiamo con $\omega=(|e| B)/(mc)$ . Questi sono tanto importanti che hanno un nome e sono detti livelli di Landau.
PS: volendo ormai puoi anche scrivere la funzione d'onda completa ed hai veramente tutto.
PPS: Ma sto esame quando lo devi dare?