Prendiamola un po' alla larga e consideriamo il moto di un oscillatore armonico unidimensionale:
\begin{equation}
\begin{cases}
\ddot{x}(t) = \omega^2 x(t)\\
x(0)=x_0\\
\dot{x}(0)=x_1\\
\end{cases}
\end{equation}
Tale equazione descrive ad esempio il moto di un corpo puntiforme di massa $m$ attaccato ad una molla (quando viene deformata "poco" dalla sua posizione di equilibrio) di costante elastica $k$. Dalla forma stessa dell'equazione si vede immediatamente che stiamo considerando la reazione della molla $ \prop \ddot{x}(t)$
immediata rispetto al moto della massa $x(t)$, ovvero stiamo
approssimando come infinita la velocità di propagazione del segnale di sforzo . Questo tipo di approssimazione è più che ragionevole per piccole scale, ma proviamo a complicare l'esempio precedente considerando una catena di oscillatori armonici con $N$ masse (con $N \to \infty$).
In questo caso il moto della massa $i$-esima è:
\begin{equation}
m \frac{d^2 y_i}{dt^2} = -k (y_i - y_{i-1}) +k(y_{i+1} - y_i)
\end{equation}
Nel limite in cui $N \to \infty$, ci si aspetta che le posizioni delle masse si avvicinino sempre di più fino a giungere al continuo (corda elastica), pertanto:
\begin{equation}
y_{i+1}(t) \approx y_i(t) + \frac{y_{i+1}(t)-y_i(t)}{\Delta x} \Delta x
\end{equation}
Sostituendo il tutto nell'equazione precedente e rifacendo lo stesso ragionamento con le derivate, giungiamo all'
Equazione delle Onde o di D'Alembert:
\begin{equation}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}y(x,t)-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}y(x,t)=0
\end{equation}
dove $v = \frac{k \Delta x^2}{m}$ si dimostra essere la velocità di propagazione dell'onda. Considerando il problema di Cauchy:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}y(x,t)-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}y(x,t)=0\\
y(x,0)=y_0(x)\\
\partial_t y(x,0)=y_1(x)
\end{cases}
\end{equation}
abbiamo che la sua soluzione generale è descritta dalla
Formula di D'Alembert:
\begin{equation}
y(x,t)=\frac{1}{2}[y_0(x-vt)+y_0(x+vt)] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} y_1(\xi)d\xi
\end{equation}
Da questa si vede come le condizioni iniziali impieghino del tempo (cono di influenza è ad ogni $t$ fissato compatto in $\mathbb{R}^2$) per perturbare la posizione della corda elastica a grande distanza in modo non più trascurabile quanto più questa è grande. In un certo senso nasce proprio qui il concetto di ritardo, dalla considerazione che ogni segnale impiega del tempo per propagarsi e per far sentire i suoi effetti.
Immagino ti sia noto che, con il
Gauge di Lorenz, si possono riscrivere le equazioni di Maxwell per il potenziale scalare $V$ e per il potenziale vettoriale $\vec{A}$ come 4 equazioni scalari delle onde disaccoppiate:
\begin{equation}
\begin{cases}
\Box_c^2 V(\vec{x},t)= -\frac{\rho(\vec{x},t)}{\varepsilon_0}\\
\Box_c^2 \vec{A}(\vec{x},t)= - \mu_0 \vec{J}(\vec{x},t)\\
\end{cases}
\end{equation}
Siccome l'equazione è la stessa della corda elastica avremo, imponendo condizioni iniziali identicamente nulle, dei segnali che si propagano con velocità $c$ dalla sorgente di carica o corrente che sia
1. Per risolvere le equazioni $(7)$ ci calcoliamo la
soluzione fondamentale2 $G(\vec{x},t)$ dell'operatore d'onda, ovvero quella distribuzione temperata che presenta la seguente proprietà:
\begin{equation}
\Box_c^2 G(\vec{x},t)= \delta(\vec{x})\delta(t)
\end{equation}
La soluzione di questa equazione è:
\begin{equation}
G(\vec{x},t)= \frac{\theta(t)}{2 \pi c|\vec{x}|}\delta\bigg(c^2 t^2 - |\vec{x}|^2\bigg)=\frac{1}{4 \pi |\vec{x}|}\bigg[\delta\bigg(t - \frac{|\vec{x}|}{c}\bigg) - \delta\bigg(t +\frac{|\vec{x}|}{c}\bigg)\bigg]
\end{equation}
Ora per rispettare il
Principio di Causalità è necessario scartare la seconda soluzione perché porterebbe a propagare il segnale "indietro nel tempo" e quindi a mostare effetti senza cause. Nell'ipotesi di sorgenti appartenenti a $D'(\mathbb{R}^{4})$, la soluzione di $(7)$ è sufficiente data da:
\begin{equation}
\begin{aligned}
V(\vec{x},t)&= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_0^{\infty} \int_{\mathbb{R}^n} \delta\bigg(t -\tau - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}\bigg) \frac{\rho(\vec{\xi},\tau)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d^3 \vec{\xi}d\tau\\
\vec{A}(\vec{x},t)&= \frac{\mu_0}{4 \pi |\vec{x}|} \int_0^{\infty} \int_{\mathbb{R}^n} \delta\bigg(t -\tau - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}\bigg) \frac{\vec{J}(\vec{\xi},\tau)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d^3 \vec{\xi}d\tau
\end{aligned}
\end{equation}
La grandezza $t_r = t - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}$ si definisce
Tempo Ritardato. Proviamo a darne un' interpretazione: il tempo ritardato è il tempo a cui il sistema, posto in $\vec{\xi}$, aveva le proprietà che io, che sto nel punto $\vec{x}$, sento e misuro in questo instante; alternativamente lo puoi vedere come il tempo a cui si trova il sistema se il segnale viaggiasse istantaneamente. I campi che si ottengono da questi potenziali, prendono il nome di
Campi di Jefimenko o Equazioni di Jefimenko (che non sono altro che una generalizzazione della Legge di Coulomb e di Biot-Savart). Il caso speciale in cui le sorgenti di campo non sono estese ma puntiformi, i potenziali $(10)$ prendono il nome di
Potenziali di Lienard-Wickert.
Per derivarli, partiamo dai potenziali ritardati, considerando
\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho(\vec{x},t)&= q \delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau))\\
\vec{J}(\vec{x},t) &= q \vec{v}_{s}(\tau) \delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau))
\end{aligned}
\end{equation}
dove $\vec{x}_s$ e $\vec{v}_{s}$ sono rispettivamente la posizione e la velocità della sorgente. Derivo esplicitamente il potenziale scalare, per quello vettoriale i conti sono identici; Posto $t'_r = t - \frac{|\vec{x}-\vec{\xi}|}{c}$ e usando il teorema di Tonelli:
\begin{equation}
\begin{aligned}
V(\vec{x},t) &= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(t'_r))}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d^3 \vec{\xi}\\
&= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{\mathbb{R}^3} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau)) \delta(\tau-t'_r)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|}d\tau d^3 \vec{\xi}\\
&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{-\infty}^{\infty} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\vec{\xi}-\vec{x}_s(\tau)) \delta(\tau-t'_r)}{|\vec{x}-\vec{\xi}|} d^3 \vec{\xi}d\tau\\
&= \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(\tau-t'_r)}{|\vec{x}-\vec{x}_s(\tau)|} d\tau\\
\end{aligned}
\end{equation}
Sapendo che:
\begin{equation}
\delta(\tau-t'_r)= \frac{\delta(\tau -t_r)}{\frac{\partial}{\partial \tau}(\tau-t'_r)|_{\tau=t_r}}=\frac{\delta(\tau -t_r)}{\frac{\partial}{\partial \tau}\bigg(\tau-\big(t-\frac{|\vec{x}-\vec{x}_s(t'_r)|}{c}\big)\bigg)\bigg|_{\tau=t_r}} = \frac{\delta(\tau -t_r)}{1- \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}_s(\tau)}{c}}
\end{equation}
dove $\vec{r} = \frac{\vec{x}-\vec{x}_s(\tau)}{|\vec{x}-\vec{x}_s(\tau)|}$. E' possibile eseguire questo procedimento perché esiste un unico tempo ritardato che corrisponde alle coordinate della particella. Eseguendo l'integrazione si trovano i potenziali di Lienard-Wickert:
\begin{equation}
\begin{aligned}
V(\vec{x},t)&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)| - \frac{\big(\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)\big)\cdot\vec{v}_s(t_r)}{c}}\\
\vec{A}(\vec{x},t)&=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{\vec{v}_s(t_r)}{|\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)| - \frac{\big(\vec{x}-\vec{x}_s(t_r)\big)\cdot\vec{v}_s(t_r)}{c}}
\end{aligned}
\end{equation}