Ciao! Io ti mostro quello a cui sono arrivato (che non è il risultato che hai riportato) e poi ne discutiamo.
Supponiamo di avere un corpo puntiforme di massa $m$ attaccato ad un pendolo la cui lunghezza è data dalla legge oraria $l(t)= \alpha t + l_0$ con $|\alpha| \approx 0$. In un sistema di riferimento inerziale $\mathcal{I}$, utilizzando come coordinata lagrangiana l'angolo $\theta$ che il filo forma con la verticale, abbiamo che la Lagrangiana del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2}m \bigg(\dot{l}^2 + l^2\dot{\theta}^2 \bigg) - mgl(t)\bigg(1-cos\big(\theta(t)\big)\bigg)
\end{equation}
Poiché sappiamo che $|\alpha| \approx 0$, trascuriamo i termini di ordine superiore al primo in $\alpha$ ed otteniamo:
\begin{equation}
\mathcal{L}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) - mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
Di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(\theta, \dot{\theta},t) \approx \frac{1}{2}m \bigg(2\alpha t l_0 \dot{\theta^2} + l_0^2 \dot{\theta^2} \bigg) + mg(\alpha t + l_0)\bigg(1-cos\big(\theta\big)\bigg)
\end{equation}
che coincide con la funzione di Hamilton $\mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} \dot{\theta } - \mathcal{L}$, ma non possiamo utilizzare il teorema di Jacobi per determinare la variazione di Energia in quanto i vincoli del sistema (in questo caso il filo) dipendono esplicitamente dal tempo. L' equazione del moto, data dalle
equazioni di Eulero-Lagrange:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\theta}} =0\\
\frac{d \theta}{dt} = \dot{\theta}
\end{cases}
\end{equation}
è:
\begin{equation}
m(2 l_0 \alpha t +l_0^2)\ddot{\theta} + 2ml_0 \alpha \dot{\theta}+ mg(\alpha t + l_0) \sin(\theta)=0
\end{equation}
che per $\alpha =0$ è esattamente la solita equazione del moto del pendolo. Tale modello vale evidentemente fino a quanto $l(t)>0$. Tale equazione è irrisolvibile in modo analitico, tuttavia facendo qualche supposizione ulteriore possiamo determinare i comportamenti del sistema per qualche configurazione particolare.
Supponiamo che $l_0 + \alpha t \approx l_0$ per un tempo "sufficientemente lungo", allora l'equazione diventa:
\begin{equation}\label{pend}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \sin(\theta)
\end{equation}
Tale equazione rappresenta il moto di un pendolo con un' "attrito viscoso positivo" ($\alpha<0$), che tende ad aumentare l'energia del sistema. In virtù di ciò l'approssimazione di piccoli angoli, risulta inefficace per tempi lunghi (in quanto l'arrotolare del filo tende ad aumentare l'energia massima del sistema ed a "far scappare" il punto rappresentativo del sistema nello spazio delle fasi fuori da ogni compatto). Di contro se il pendolo si allungasse potremmo utilizzare efficacemente tale approssimazione ottenendo come soluzioni:
\begin{equation}
\theta(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} cos(\omega_0 t + \phi)
\end{equation}
Siccome stiamo osservando il sistema dopo un periodo, è ragionevole poter utilizzare l'approssimazione $\sin(\theta) \approx \theta$, per cui l'equazione \eqref{pend}, diventa quella di un oscillatore armonico "smorzato":
\begin{equation}\label{armos}
\ddot{\theta} \approx -\frac{2 \alpha}{l_0} \dot{\theta} -\frac{g}{l_0} \theta
\end{equation}
Posto $\gamma = -\frac{2 \alpha}{l_0}$ e $\omega_0^2 = \frac{g}{l_0}$, possiamo risolvere questa equazione usando il polinomio caratteristico, ottenendo come equazione algebrica associata ad \eqref{armos}:
\begin{equation}
\lambda^2 - \gamma \lambda + \omega_0^2 =0
\end{equation}
Le cui soluzioni sono:
\begin{equation}
\lambda_{1,2} = \frac{\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -4 \omega_0^2}}{2}
\end{equation}
Poiché $\alpha^2< g$, le soluzioni di \eqref{armos} sono dei moti armonici modulati da esponenziali crescenti $\prop e^{\gamma/2}$; di conseguenza l'energia del sistema è:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{\frac{\gamma t}{2}} = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} e^{-\frac{\alpha t}{l_0}}
\end{equation}
Approssimando l'esponenziale al primo ordine otteniamo che:
\begin{equation}
\mathcal{E}(t) \approx \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0} \bigg(1 - \frac{\alpha t}{l_0} \bigg)
\end{equation}
Detta $\mathcal{E}_0 = \frac{1}{2} A \frac{mg}{l_0}$, abbiamo che:
\begin{equation}
\Delta{\mathcal{E}} \approx \mathcal{E}_0 \frac{l_0-l}{l_0}
\end{equation}
Non riesco a capire da dove salti fuori l'$1/2$. Fammi sapere!
Ultima modifica di
Masaki il 28/08/2019, 16:53, modificato 2 volte in totale.