09/11/2019, 00:59
anonymous_0b37e9 ha scritto:Io la metterei così. L'unica soluzione:
1. definita in un intorno di un istante in cui le derivate di ogni ordine sono nulle;
2. fisicamente accettabile.
è la soluzione costante. Per questo motivo:$s=1/144t^4$
non essendo costante e avendo, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle, non è accettabile. Insomma, mi sembra il modo più semplice e indolore per limitare, nel caso in cui non valga il teorema di unicità, le soluzioni del modello matematico alle sole soluzioni fisicamente accettabili. Del resto, si tratta solo di accettare, nel caso in cui le condizioni iniziali impongano un'accelerazione nulla, la soluzione avente, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle.
P.S.
Peccato che:$s=1/144t^4$
non abbia, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle. Pazienza, lascio il messaggio lo stesso.
09/11/2019, 01:31
mgrau ha scritto:Ma, Falco, fammi capire. Tu sostieni che non puoi costruire in legno la curvo $y = x^(3/2)$, perchè la sua derivata seconda va all'infinito all'origine? E' così?
Se è così, non ci vuol niente a disegnare (e costruire) curve in cui qualche derivata va all'infinito: un semplice cerchio ha due punti a derivata prima infinita; un quadrato con due semicirconferenze applicate su due lati opposti ha la derivata terza infinita in quattro punti, ecc. ecc. Figure perfettamente costruibili. E allora?
09/11/2019, 07:44
09/11/2019, 10:27
Shackle ha scritto:
1) Io non sono convinto che , quando scrivi la formula che inizia cosi:
$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$
ci vada , al posto di $a$ , solo l'accelerazione tangenziale, uguale a $(dv)/(dt) $ , e non piuttosto il modulo della accelerazione totale :
$a = sqrt (((dv)/(dt))^2 + (v^2/r)^2) $
ma non mi metto a indagare su questo. È vero che la forza centripeta non fa lavoro.
Shackle ha scritto:2) La curva $y = sqrt(x^3)$ è perfettamente tracciabile, a partire dall'origine : vedi curva $f$ in verde dei miei grafici. Ha tangente orizzontale nell'origine. La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta. Si vede anche esaminando le formulette che ho riportato, relative alle componenti cartesiane dell'accelerazione : il termine dove $sqrtx$ è al denominatore tende ad $infty$ , l'altro tende a zero. Puoi realizzare senza sforzi un modello di legno , il difficile è fare la tangente orizzontale in O, ma del resto anche la parabola lignea avrebbe la stessa difficoltà. Allora, fatto il modello alla men peggio, si dice agli studiosi lettori : " Qui dovete immaginare che la tangente diventi perfettamente orizzontale ... "
Shackle ha scritto:3) un punto materiale (P,m) , messo in O sulla curva, ci rimane in quiete, non va da nessuna parte, in teoria (non soffiare di nascosto...) , viste le condizioni iniziali.
.Shackle ha scritto:5) molte volte, nel risolvere matematicamente un problema fisico, ci si trova di fronte a due o più soluzioni, e si dice : " questa la scartiamo, perchè fisicamente impossibile" . Si prende per valida quella fisicamente accettabile. Mi viene a mente, ad esempio, il calcolo che si fa nel determinare matematicamente il moto di un proiettile lanciato con una certa $vecv_0$ nel campo $vecg = "cost" $ , ma ce ne sono molti altri
Shackle ha scritto:Non ho altro da aggiungere; ti auguro un buon week end, e non sparire di nuovo. Ciao.
09/11/2019, 15:21
09/11/2019, 16:16
Shackle ha scritto:Hai ragione per quanto riguarda l'accelerazione, basta solo quella tangenziale. Ma per quanto riguarda la curvatura, non mi sembra che tu la dica giusta. Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Shackle ha scritto:La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta.
Shackle ha scritto:Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura $R$ tende all'infinito, e la curvatura $1/R$ tende a zero. Quando l'equazione della curva è data in coordinate cartesiane, del tipo : $y=f(x)$ , la curvatura è data da :
$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $
Shackle ha scritto:Derivata seconda di $y$ rispetto a $x$ che tende all'infinito nell'origine significa solo che il vettore velocità nei dintorni di O (ove fosse lecito parlarne, ma io dico di no...) praticamente non cambia di direzione, rimane sostanzialmente orizzontale.
09/11/2019, 16:24
Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero
09/11/2019, 16:27
Falco5x ha scritto:.... ma si distende subito diventando una curva normale appena ci si sposta immediatamente a destra dello zero.
Detta così mi pare difficile da visualizzare e tanto meno da realizzare. Se provo a realizzarla traccio solo una parte di curva che è già "normale", in nessun modo riesco a rappresentarla su quel famigerato punto di zero dove inizia, a qualunque livello di scala io tenti di lavorarci.
09/11/2019, 18:44
mgrau ha scritto:E quanto alla soluzione matematica e paradossale: ma proprio non mi vuoi dire da che parte cade? Mi pare che hai glissato un po' troppo su questo punto. Questa cosa, che la soluzione non determina il lato di caduta, a me pare un baco fondamentale; a te no?
09/11/2019, 18:46
DikDIkVanDIk ha scritto:Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero
Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.
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