Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Circonferenza di raggio nullo sarebbe?
Mi sfugge come arrivi a dire che sia un punto sopra una circonferenza (o una curva o qualsiasi altra curva immaginaria)

Se io scrivo $y=x^k$ con k reale non intero, la funzione è definita nel campo reale solo per x>=0.
Dunque la soluzione in t direbbe che cade a destra, cioè x positivi per t positivi, visto che a sinistra dello zero c'è il muro della non esistenza.
Ma se scriviamo la funzione $y=(-x)^k$, questa è definita solo per x<=0, dunque la soluzione diventa opposta per cui il corpo scende a sinistra.

Ma scusa: vuole essere un problema di fisica, o no? Siamo nella stanza di fisica? Mi pare... Allora stiamo parlando di una guida reale, e di una palla reale che cade lungo la guida; ora, che una guida reale non possa esistere anche dall'altra parte, mi pare francamente troppo.
Ma forse, per me, è ora di ritirarmi dalla discussione...

Circonferenza di raggio nullo sarebbe?

E io che ne so?

Mi sfugge come arrivi a dire che sia un punto sopra una circonferenza (o una curva o qualsiasi altra curva immaginaria)

Allora ti sfuggono le basilari conoscenze di analisi. Il raggio di curvatura si chiama così non a caso, ma perché è il raggio della circonferenza che approssima localmente la curva. Se ho una guida a forma di parabola $y=-ax^2$, con $a>0$, mettere un punto materiale nell'apice è localmente equivalente a metterlo sopra una circonferenza di raggio $a$, e si sa che un punto materiale su una circonferenza, se inizialmente fermo, rimane fermo.
Nel caso della curva y=x^3/2 risulta un raggio di curvatura nullo....il significato fisico di ciò? non lo so e non penso ce l'abbia, è questo il punto di tutta questa discussione, ma pare che nessuno lo abbia ancora capito.

Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero

Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.

Penso che stiate scherzando, signori, e parlo al plurale perchè Falco ha condiviso e ringraziato. Devo ripetere il mio punto di vista, per l'ultima volta? Lo ripeto, e se dite che prima ho fatto confusione faccio ammenda, ma non mi sembra proprio.
LA curva di equazione $y = sqrt(x^3)$ è definita per $x>=0$ , quindi anche nell'origine. Nell'origine è praticamente piatta, ha curvatura praticamente nulla e raggio di curvatura praticamente infinito.
Io l'ho disegnata con Geogebra, e vi prego di andare a guardarla. Ho disegnato anche la curva "derivata prima" e la curva "derivata seconda", sono sullo stesso grafico.
Però , Falco , la derivata seconda NON È tutta la curvatura !!! C'è un denominatore di cui bisogna tener conto. Prendiamo un esempio banale , la parabola di equazione cartesiana :

$y=x^2$

la derivata prima vale : $ y' = 2x $ , per ogni $x$ . La derivata seconda vale : $y'' = 2 $

quindi, se la derivata seconda rappresentasse tutta la curvatura, dovrei dire che la parabola ha curvatura costante, indipendentemente dal punto in cui si considera ! Cassate siciliane, ovviamente! C'è il denominatore, nell'espressione di $k=1/R$ , che mette le cose a posto, e vi prego di verificare da soli l'andamento della curvature della parabola al crescere di $x$. E cosí per tutte le curve.

se f''(x) tende a infinito, anche k tende a infinito, R tende a zero e la pendenza della curva cambia drasticamente in uno spazio infinitesimo, mi pare!!!!

No, Falco, non sono d'accordo. Prova a calcolare la curvatura della curva di equazione : $y = sqrtx^3$, con la formula che abbiamo detto. Una cosa devo aggiungere, ed è questa : non so se le formule per le derivate che stiamo usando valgono anche all'estremo $0$ del dominio. Non vorrei ( anzi, vorrei! ) che un matematico mi smentisse, dicendo che non posso estendere delle formule valide in punti regolari a punti che regolari non sono, o per lo meno non mi sembrano. E allora si dovrebbe fare un passaggio al limite , per $x\rarr0$ , della formula della curvatura.

Ma che la curva cambi drasticamente la sua pendenza in un intorno infinitesimo dello zero (quanto infinitesimo? Dove avviene il cambiamento, e perché? ) , e il raggio di curvatura tenda a zero, e un punto materiale messo lí slitta sulla curva e si muove, come ha affermato il nuovo arrivato...be'... per me è totalmente assurdo. Un punto materiale messo sulla curva in $O$ non si muove da solo.

Io non scriverò più nulla in questo 3D , perche non farei altro che ripetermi. Saluti a tutti, sul serio.

Ultima modifica di Shackle il 09/11/2019, 23:01, modificato 1 volta in totale.

Solo due incisi: disegnare una curva, che sia con GeoGebra o con qualsiasi altro sw, di per sé non è sempre sufficiente a dimostrare qualcosa; provate a disegnare $x$ e $x^2/x$, graficamente saranno sempre la stessa cosa, è impossibile disegnarle differenti eppure lo sono, una ha il buco, l'altra no.
E lo stesso accade se ci cerca di "costruirle" fisicamente, la curva $x$ si può costruire, la curva $x^2/x$ no.

Cordialmente, Alex

Nell'origine è praticamente piatta, ha curvatura praticamente nulla e raggio di curvatura praticamente infinito.

Ma che stai dicendo? E' il contrario! Ha curvatura infinita ma raggio nullo! E lo dice la formula stessa che tu hai postato. Se avesse raggio infinito non ci sarebbe nessun problema perché implicherebbe derivata seconda nulla nell'origine.

E per me una curva che ha raggio di curvatura piccolissimo in un punto ( al limite "nullo") è tutt'altro che localmente piatta.

Si ma che questi non sappiano che una circonferenza degenere sia un punto isolato e che continuino a dire che i cavalli volano.... be mi pare poco serio
Buon divertimento bye
E poi non drammatizziamo si possono costruire entrambe, e dove non definite le prolunghi per continuita'

Lo so benissimo che una circonferenza degenera in un punto o in una retta, e meglio di te. L'analisi è una cosa e la realtà un'altra. La curva y=x^3/2 non mi pone nessun problema dal punto di vista analitico, è quella lì e basta, e a questo ci arrivi pure tu. Il problema sorge quando si considera un problema di dinamica su una curva come questa...tu che sei cosi bravo riesci a spiegare perché un punto materiale posto sulla sommità della curva si muova anche in assenza di forze? Mi sai spiegare nella realtà come costruire una curva che ha raggio di curvatura nullo in un punto?

Buon divertimento bye

ecco ritirati

se f''(x) tende a infinito, anche k tende a infinito, R tende a zero e la pendenza della curva cambia drasticamente in uno spazio infinitesimo, mi pare!!!!

No, Falco, non sono d'accordo. Prova a calcolare la curvatura della curva di equazione : $y = sqrtx^3$, con la formula che abbiamo detto. Una cosa devo aggiungere, ed è questa : non so se le formule per le derivate che stiamo usando valgono anche all'estremo $0$ del dominio. Non vorrei ( anzi, vorrei! ) che un matematico mi smentisse, dicendo che non posso estendere delle formule valide in punti regolari a punti che regolari non sono, o per lo meno non mi sembrano. E allora si dovrebbe fare un passaggio al limite , per $x\rarr0$ , della formula della curvatura.

Ma che la curva cambi drasticamente la sua pendenza in un intorno infinitesimo dello zero (quanto infinitesimo? Dove avviene il cambiamento, e perché? ) , e il raggio di curvatura tenda a zero, e un punto materiale messo lí slitta sulla curva e si muove, come ha affermato il nuovo arrivato...be'... per me è totalmente assurdo. Un punto materiale messo sulla curva in $O$ non si muove da solo.

Io non scriverò più nulla in questo 3D , perche non farei altro che ripetermi. Saluti a tutti, sul serio.

Shackle non capisco che genere di disaccordo ci sia tra noi, io ho solo applicato la formula della curvatura che tu stesso hai scritto:
$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $
Da questa si vede che se facendo il limite per x che tende a zero la derivata seconda tende a infinito e contemporaneamente la derivata prima tende a zero, la curvatura tende a infinito e il raggio di curvatura tende a zero, tutti qui. Non ho mai identificato la derivata seconda con la curvatura, sarebbe sbagliato farlo, come hai ben esemplificato tu per il caso della parabola.
Poi ogni tentativo di guardare al microscopio il punto zero di questa parabola fallisce perché dovremmo avere un microscopio infinitamente potente, e ogni elucubrazione cade di fronte al fatto che si tratta di una stranezza matematica che con la fisica non ha niente a che fare. Che poi il corpo si muova da solo è assurdo dirlo riferendosi a una curva non fisica, si muove solo nell'ambito matematico e basta, Newton è ancora e sempre il mio riferimento per la fisica, quindi, ripeto, non capisco in cosa possano discordare i nostri pareri se non per dettagli opinabili.
Se ho poi ringraziato DikDIkVanDIk è per aver dato una interpretazione alla matematica, non alla fisica, e per aver confermato l'opinione mia che questa curva nel punto zero è una curva non fisicamente plausibile.
E se non c'è molto altro da dire su questi argomenti, mi ritiro anch'io, altrimenti mi ripeterei.
Buona serata a tutti.