Esercizio relatività

“ se la norma di un 4-vettore è invariante....” non sussiste proprio. La norma di un 4-vettore è invariante, punto e basta!

Ovvio. Ma infatti l'esercizio dice "se la norma del quadrivettore è costante" (cosa che me per ha un significato diverso!).

Dopo finisco di leggere il post, adesso non ho troppo tempo. Grazie comunque

Aggiungo quanto segue , circa il calcolo di lunghezze, aree , volumi, in funzione della metrica dello spazio :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Può sembrare ovvio , naturalmente. MA è bene precisare certi concetti , che a volte sfuggono.

Che cosa è un 4-vettore di modulo costante per te?

La pagina del Landau è esattamente ciò che intendevo per invarianza della misura di volume, nè più né meno.

Che cosa è un 4-vettore di modulo costante per te?

Potrei dire una castroneria però se ho un quadrivettore $A$ e ne prendo io modulo

$A^{\mu}A_{\mu} = B$

Allora sono sicuri che B è una grandezza invariante. Tutto via posso avere due casi:
1) B è un numero, tipo 10. In questo caso il suo differenziale fa 0
2) B è una grandezza generica che so solo essere invariante. In questo caso il suo differenziale non deve necessariamente fare 0.

Comunque non ho ancora avuto tempo di leggere le pagine che hai linkato. A breve lo farò

Non preoccuparti di dire castronerie, c’è stata e c’è ancora gente che ne dice tante, e molto gravi. Ma qui si dovrebbe chiacchierare come tra amici, senza preoccuparsi troppo. Quindi vai avanti tranquillo.

LA norma di un 4-vettore è una grandezza fisica, quindi c’è un numero e una unità di misura. Per esempio, la norma di un 4-vettore velocità é semplicemente $c$, e come tutte le velocità ha un valore, un modulo, accompagnato da una unità di misura. La norma di un 4-impulso, ormai dovresti averlo visto da solo, è $mc$ , quindi è una “quantità di moto” , ovvero massa (a meno di $c$) , ovvero energia di quiete, ti pare ? E cosí via.
Che cosa vuoi differenziare ?

Mhm no forse mi sto confondendo... In questo momento mi trovo in accordo con quello che dici, ma allora non capisco la consegna del problema.

Per completezza riporto lo screen dell'esercizio:



tratto da "Relativistic Hydrodynamics" Rezzolla, Zanotti - pag 67.

Allora la premessa è superflua ?

Mah, che posso dirti... A volte è questione di interpretazione. In Landau mi pare che non ci sia nulla del genere.
A meno che l’autore non pensi invece ad una velocità , o un 4-vettore qualsiasi, variabile col tempo ....potrebbe anche essere cosi , in generale : $U^\alpha = U^\alpha(t)$ . Ma la norma non sarebbe variabile nel tempo perché vale sempre $mc$ nel caso di un 4-impulso.

Se invece interpretiamo : “ visto che la norma è costante...” , segue la tesi. Forse è questa la spiegazione

Ecco perchè sarebbe opportuno conoscere il contesto, come dicevo all’inizio.

SE vuoi esercizi di RR , ce ne sono a bizeffe sul web . Proprio in questo dovevi andare a parare, ora che sei all’inizio? Ad esempio :

https://www.phas.ubc.ca/~mcmillan/rqpdf ... tivity.pdf

https://www1.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/

https://oyc.yale.edu/sites/default/file ... ions_4.pdf

Quelli di Takeuchi sono abbastanza impegnativi .

Grazie Shackle. Per oea stop leggendo nel tempo libero "Manuale di RR" di Maurizio Gasperini. Contiene in totale 18 esercizi che spero di finire prima o poi. A parte la notazione inusuale di prendere come tensore metrico (111-1) non mi sembra male. L'esercizio che ho postato invece non fa parte del libro. L'ho trovato on line per caso.

A meno che l’autore non pensi invece ad una velocità , o un 4-vettore qualsiasi, variabile col tempo ....potrebbe anche essere cosi , in generale : Uα=Uα(t) . Ma la norma non sarebbe variabile nel tempo perché vale sempre mc nel caso di un 4-impulso.

Eh sì, questo intendevo

Il libro di Gasperini è molto buono. Ce ne sono altri sul web , basta cercare . Per esempio le dispense di Harris , ma anche di molti autori italiani : Colferai, Boschetto, Casalbuoni...e tantissimi altri. Nei link che ti ho dato ci sono pure delle note, di Shankar e di Takeuchi .

Eh sì, questo intendevo

si, ho capito che cosa intendevi. Ma una particella di massa $m$ , qualunque sia la sua velocità , ha sempre lo stesso modulo del 4-impulso $mc$ . Quindi non so che dirti . Ho fatto questa foto :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

dal libro "Una formula cambia il mondo “ di Harald Fritsch , dove l’autore immagina un colloquio tra Newton, Einstein e un tale Haller ( l’autore stesso), in cui Einstein spiega la relatività ristretta a Newton...

Nella foto, tutti i vettori che partono dall’origine e vanno a finire sull’iperbole invariante che interseca l’asse dei tempi hanno la stessa lunghezza nella geometria iperbolica del piano di Minkowski , che con le unità di misura ivi riportate vale $1s$ .
Ma si potrebbe indicare, sull’asse verticale , il componente temporale del 4-impulso $gammamc$ , di conseguenza sull’asse orizzontale si dovrebbe riportare il componente spaziale $gammamv$ . LA “norma” (al quadrato) , con la regola di calcolo valida in geometria iperbolica , vale sempre :$ (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = (mc)^2 $ , quindi il punto origine del ramo di iperbole sull’asse verticale è sempre $mc$.

Da qui non si scappa. Quindi non mi spiego l’arcano. Leggi comunque le pagine di Landau, che non mi pare contengano “ se ....allora” .

Si ho capito cosa dici. Forse l'autore voleva semplicemente dare una dimostrazione generale valida per qualsiasi grandezza con quelle caratteristiche. Comunque grazie per tutto il materiale, avrò un bel da fare nei prossimo futuro