Fem indotta e campo elettrico indotto

Premetto che sono un matematico e sto affrontando questi argonenti di fisica da un punto di vista liceale.
Ho un paio di dubbi riguardo la legge di faraday-neumann.
Partendo dell'equazione
\[fem_{indotta}=\frac{d\Phi}{dt}\]
che "vale" in caso si considera una vero circuito dove ci sono elettroni di conduzione, si dice che in realtà la forza elettromotrice indotta mette in evidenza la presenza di un campo elettrico indotto che "pervade" lo spazio, che quindi sarebbe presente anche in assenza di circuito.
Da questa considerazione si arriva alla legge
\[\Gamma(E_{indotto})=\frac{d\Phi}{dt}\].

La prima domanda è: la legge con la circuitazione è la generalizzazione della legge con la fem??
Da come si legge sul libro sembrerebbe di sì però non mi sembrano totalmente equivalenti.
Faccio un esempio per spiegarmi. Nel caso di un campo magnetico uniforme e costante se cambio la "forma" del circuto "vero" chiaramente si sviluppa una corrente indotta e quindi c'è un campo elettrico indotto.
Se invece fisso un percorso (fittizzio) quello rimane fisso ( la formula con la circuitazione prevede proprio di fissare il percorso) e quindi non c'è variazione di flusso del campo magnetico e quindi circuitazione di E indotto è nulla.

Allora la presenza della spira sembra determinante perché le cose cambiano.
Non sono stato precisissimo. Se non si dovesse capire posso cercare di riscrivere in modo più dettagliato e preciso.

Faccio un esempio per spiegarmi. Nel caso di un campo magnetico uniforme e costante se cambio la "forma" del circuto "vero" chiaramente si sviluppa una corrente indotta e quindi c'è un campo elettrico indotto.
Se invece fisso un percorso (fittizio) quello rimane fisso ( la formula con la circuitazione prevede proprio di fissare il percorso) e quindi non c'è variazione di flusso del campo magnetico e quindi circuitazione di E indotto è nulla.

Nel primo caso tu supponi che il campo magnetico non cambi, e il flusso cambia perchè cambia la forma del circuito.
Mentre nel secondo la forma resta fissa. Allora, se vuoi una corrente indotta (o una circuitazione di $vecE$ se preferisci), devi cambiare il campo magnetico. Certo che, se non cambia niente, non succede niente.

Grazie per la risposta. Questo lo so.
Il problema è che la legge di Maxwell con la circuitazione dovrebbe essere una "generalizzazione" della legge con la fem ma ho difficoltà a vederle equivalenti.
Provo a spiegarmi meglio:
Prendiamo il caso di un campo magnetico uniforme e costante con una spira circolare conduttrice immersa e consideriamo anche un percorso "fittizio" circolare concentrico con raggio maggiore.
Facendo variare la spira si genera una corrente indotta, allora significa che c'è un campo elettrico indotto non nulla.
Se invece consideriamo il cerchio fittizio non c'è variazione di flusso del campo magnetico e quindi il campo elettrico indotto è nullo.
Allora c'è una contraddizione....

Facendo variare la spira si genera una corrente indotta, allora significa che c'è un campo elettrico indotto non nulla.
Se invece consideriamo il cerchio fittizio non c'è variazione di flusso del campo magnetico e quindi il campo elettrico indotto è nullo.
Allora c'è una contraddizione....

Proprio non ti capisco In un caso c'è una variazione di flusso e un campo elettrico indotto. Nell'altro non c'è variazione di flusso e non c'è campo elettrico indotto. E dov'è la contraddizione?

Stiamo dicendo che nello stesso punto dello spazio c'è e non c'è un campo elettrico indotto.
Direi che o è diverso da zero o è zero.

Non è "lo stesso punto dello spazio". Se hai deformato la spira, questa non coincide più col circuito fittizio.
Se poi vogliamo vedere le cose localmente, le parti della spira che hai spostato per variare l'area si sono mosse, in quelle parti si manifesta una forza di Lorentz. Per cui in effetti il campo elettrico c'è solo lì, la circuitazione non nulla dipende solo da quelle parti.

Ma forse ho capito cosa intendi. La cosa si vede meglio da un punto di vista locale. Se hai due cariche elettriche in un campo magnetico, una ferma e l'altra in movimento, mettiamo pure nello stesso posto, quella ferma non subisce forze, mentra l'altra sì, che è poi la forza che produce la circuitazione non nulla. Quindi effettivamente nello stesso punto dello spazio due cariche si comportano in modo diverso.
Ma si può chiamare "campo elettrico" questa forza? Probabilmente no, e certamente non elettrostatico, infatti si chiama "forza di Lorentz", o forza elettromotrice. Che però non è un attributo del punto dello spazio, non è un campo, ma è un effetto sulla carica. Se poi è il campo magnetico che cambia, vien fuori un rotore di $vecE$ non nullo, e quindi ancora non elettrostatico.
Effettivamente non è chiarissimo, e credo che una vera comprensione si possa raggiungere solo nel quadro della relatività.

Va bene la descrizione con la forza di Lorentz ma possiamo anche dire che la corrente interna alla spira è causata dal campo elettrico indotto.
Vorrei ricavare quel campo elettrico indotto anche dalla legge con la circuitazione
\[ \Gamma(E_{indotto})=\frac{d\Phi}{dt} \]
(se effettivamente è equivalente alla formula con la fem indotta)

Nel momento che allargo la spira, nei punti dello spazio dove si trova la spira si genera un campo elettrico indotto che genera la corrente indotta. Qualsiasi cerchio concentrico che prendo nello spazio però non rileva questo campo elettrico indotto perchè nel momento che inizio ad allargare la spira il campo magnetico è costante e uniforme e quindi le circuitazioni del campo elettrico indotto lungo i cerchi sono nulle.

Vedo varie descrizioni dello stesso fenomeno che prese singolarmente sono tutte molto chiare, ma non mi sembra altrettanto semplice dire che sono equivalenti. O almeno i modi in cui è scritto sui libri liceali (o poco più) non mi sembrano convincenti.