Vi sono 4 tipi di funzioni generatrici (non sempre tutte possibili). Scegliamo la 2, ovvero $G(q,P)$ per la quale valgono le seguenti
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_canonica1) $p = (del G)/(del q)$
2) $Q = (del G)/(del P)$
Dalle equazioni della trasformazione si ricavano (nei passaggi successivi non starò a guardare eventuali radici negative e condizioni di esistenza)
3) $p = 1/2 arcsin (P/sqrt(q))$
4) $Q = sqrt(q-P^2)$
In base alle relazioni 4) e 2) si ottiene:
$(del G)/(del P) = sqrt(q-P^2)$
per cui integrando risulta (f(q) generica funzione di q)
$G(q,P) = 1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arcsin(P/sqrt(q)) + f(q)$
Derivando la relazione di cui sopra e imponendo la 1) e la 3) si verifica che risulta $f(q) = text(cost)$ e quindi si può porre per semplicità $f(q)= 0$ . In conclusione una generatrice di secondo tipo, a meno di errori di calcolo per cui ti invito a riverificare, dovrebbe essere:
$G(q,P) = 1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arcsin(P/sqrt(q))$
Ti invito inoltre a trovare con analogo procedimento la generatrice di tipo 1 $G(q,Q)$ che è quella per cui valgono le condizioni che hai scritto.