Problema forza centrifuga e forza peso

Ho ottenuto un risultato diverso dalla soluzione del problema e non so perchè.

Un sottile semianello rigido di raggio R ruota con velocità angolare costante intorno al suo diametro disposto verticalmente, come mostrato in figura. Sull'anello può scorrere senza attrico un piccolo manicotto P. Sapendo che il manicotto è in equilibrio quando il raggio OP forma un angolo $\theta\ne 0$ con l'asse di rotazione, ricavare l'espressione della velocità angolare $\omega$
Ho ridisegnato la figura aggiungendo le forze:


P sarebbe la pallina a cui ho applicato le forze.
$R$ è la reazione vincolare
Ho impostato, lungo la direzione tangete alla circonferenza, la seguente equazione, data dalle componenti tangenziali della forza centrifuga e forza peso.
$mR \omega^2 cos\theta - mg sin\theta = 0$ da cui ricavo $\omega = \sqrt{ {g \tan theta }/R}$

Tuttavia il problema riporta come soluzione $ omega =\sqrt{ g/{R cos theta}}$ ma non capisco perchè,
ho sbagliato a disegnare la forza centrifuga $F_{cf}$ ?

Ho impostato, lungo la direzione tangete alla circonferenza, la seguente equazione, data dalle componenti tangenziali della forza centrifuga e forza peso.
$mR \omega^2 cos\theta - mg sin\theta = 0$

Il raggio non è $R$ ma $R sin theta$

perchè?

Quella è la distanza del punto dall'asse di rotazione