mi serve una mano per un problema di fisica

aiutatemi non riesco a risolvere il seguente problema:
in un serbatoio alto 3 m, colmo di un fluido si pratica un foro ad una distanza H dalla superficie libera in modo tale che la distanza d alla quale il getto del fluido colpisce il pavimento sia la massima possibile.calcola il valore di questa distanza e l'altezza h in tali condizioni

La velocità di efflusso è data dalla legge di Torricelli:
$V_x=sqrt(2gH)$
Il tempo di caduta si ricava dalle formule della caduta libera per cui si ha:
$3-H=(gt^2)/2 => t=sqrt((2(3-H))/g)$
La distanza orizzontale di impatto è perciò:
$d= v_x*t=2sqrt((3-H)H)$
Derivando il radicando si ottiene:
$d'=3-2H=0 => H=3/2=1,5 m$
La distanza massima è dunque:
$d_(max)=3 m$
In generale la distanza massima è uguale all'altezza del serbatoio.

Si tratta di un problema classico.
Faccio le seguenti ipotesi
a)il fluido sia ideale
b)il foro sia sufficiente piccolo in modo che il fluido si abbassi molto lentamente
c)la pressione alla superficie libera del fluido e quella al foro siano le stesse
e pari alla pressione atmosferica Po.Questa ipotesi e' attendibile dato che la pressione
atmosferica per una variazione di livello di 3m (a partire dal livello del mare)
cambia di appena $3/(1000)Po $.
d)l'unica forza agente sia la gravita'
Detto cio', per l'equazione di Bernouilli la velocita' di efflusso del fluido dal foro e':
$V_o=sqrt(2gH)$ ed e' diretta orizzontalmente.
Assumendo un riferimento cartesiano con origine nel foro,l'asse y diretto
verticalmente verso il basso e l'asse x diretto (orizzontalmente) verso
la destra dell'osservatore,le equazioni del moto saranno:
$x=V_0t,y=(L-H)-1/2gt^2$ dove L e' l'altezza del serbatoio.
Eliminando il tempo t si ha l'equazione cartesiana del moto del fluido:
$y=(L-H)-(x^2)/(4H)$
La gittata si ottiene per y=0 e porta alla soluzione:
$x=2sqrt(H(L-H)),0<H<L$
Evidentemente la massima gittata si ha quando e' massima la funzione
$f(H)=H(L-H)$ in ]0,L[. Si puo' fare a meno di derivare osservando che in ]0,L[ i due fattori
H ed L-H sono positivi e poiche ' la loro somma e' costante (=L) il massimo lo si
ottiene per H=L-H da cui H=L/2.
Da qui si deduce che:
1)la massima distanza si ha se si pratica il foro a meta' del serbatoio (nel nostro caso
a 1.5m dalla base del serbatoio).
2)tale distanza massima e': $max(d)=2sqrt((L/2)(L/2))=L=3m$
karl

Ultima modifica di karl il 22/05/2006, 19:46, modificato 1 volta in totale.

Pardon: mentre scrivevo la risposta e la postavo, Mamo
aveva gia' fatto ! Mi consola il fatto che i risultati coincidono.
karl