Luca.Lussardi ha scritto:'argomento (suggerito anche da gabriella) è una introduzione alle serie, ma non va fatto iniziando con la definizione, bensì con esempi espliciti che mostrano che le cose vanno male se uno non sta attento (1-1+1-1 ecc... per finire con 1+2+3+4+...=-1/12 che si vede anche senza analisi complessa). Dopo la parte formale di definizioni uno può sviluppare pi greco in serie o fare esempi sui frattali a mano.
Mi fa piacere che Luca concorda che le serie sono un argomento accessibile e affascinante, e ricco di risorse culturali.
Spiego meglio perché in passato sono stata colpita dalle serie e non da limiti, derivate, integrali... etc. fatti prima.
Lo studente che fa limiti etc. si trova più che altro di fronte a technicalities tipo $\epsilon-\delta$, si impicca a quelle, si dispera sugli esercizi. Non vede quello che c'è dietro e prima, in particolare il rapporto con l'infinito e l'infinitamente piccolo, vede l'infinito, per così dire, gia addomesticato.
Con le serie, si è di fronte al problema nudo e crudo dell'infinito, l'infinito allo stato selvaggio, e del sommare infiniti termini, discusso ben prima della matematica moderna, Aristotele, Zenone e compagni in poi, con tutte le complicazioni e i paradossi da cui non si usciva.
Con la teoria delle serie questo è stato fatto, l'infinito, almeno quello potenziale, è stato assoggettato, con risultati secondo me finissimi dal punto di vista intellettuale e spesso controintuitivi, e qualcuno mirabolante come i riordinamenti di Riemann.
Questo se uno ha un gusto per l'astratto e un po' filosofico, cosa che a me interessava (il ragazzo ha fatto il classico e dovrebbe aver studiato filosofia, non so se gli piace).
Ma il grande salto, per quello che ho osservato stando tra studenti di matematica, tra la matematica della scuola e quella universitaria è proprio la teoria e l'astratto. Se si ama solo il lato meccanico della matematica e il fare esercizi come a scuola meglio non iscriversi a matematica. Ho visto ragazzi del primo anno spiazzati, che poi si sono ritirati.
Poi ci sono tante altre cose più matematiche come quelle che ha citato Luca.