Derivata sotto segno d’integrale

Devo derivare la funzione A rispetto $c_{t}(j)$:

$A=\int_{0}^{1}p_{t}(j)c_{t}(j)dj$

Io avrei utilizzato quella che in wikipedia è chiamata [url="https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule]Leibniz integral rule[/url], e mi risulterebbe:

$\frac{\partial A}{\partial c_{t}(j)}=\int_{0}^{1}p_{t}(j)c_{t}(j)dj$

Però pare sia sbagliato. Il risultato corretto dovrebbe essere

$\frac{\partial A}{\partial c_{t}(j)}=p_{t}(j)$

La giustificazione che mi è stata data del risultato è la seguente:

$A=\int_{0}^{1}p_{t}(j)c_{t}(j)dj\approx\sum_{j=0}^1 p_{t}(j)c_{t}(j)=(0)c_{t}(0)+p_{t}(0.001)c_{t}(0.001)+p_{t}(0.002)c_{t}(0.002)+...+p_{t}(1)c_{t}(1)$

$\frac{\partial A}{\partial c_{t}(j)}\approx\frac{\partial[p_{t}(0)c_{t}(0)+p_{t}(0.001)c_{t}(0.001)+p_{t}(0.002)c_{t}(0.002)+...+p_{t}(1)c_{t}(1)]}{\partial c_{t}(j)}=p_{t}(j)$

Ora, la giustificazione è plausibile, però In linea di massima

$\int_{0}^{1}p_{t}(j)c_{t}(j)dj≠p_{t}(j)$

quindi devo aver fatto un errore nella mia derivazione...

Molto molto qualitativamente: derivata e integrale sono operazioni inverse. Una annulla l'altra.
Anche il modo in cui approssimi l'integrale ad una sommatoria è abbastanza sensato.
Un modo più fine sarebbe quello di portare il segno di derivata sotto l'integrale (e assicurarsi di poterlo fare), quindi scoprire che l'antiderivata dell'argomento di quell'integrale, è proprio la funzione stessa.