Temo di non essere stato chiaro. Per essere di supporto oltre che all'utente anche a chi dovesse trovarsi davanti a problemi simili espongo di seguito la soluzione.
Dunque, data la seguente call
europea1:
- $S_(t)=30$
- Scadenza tra un anno
- $K=31$
- $u=1,2 , d=0,8$
- $delta(0,1)=0,06$
Intanto specifico che il prezzo della call
non è $c=3,06$ ma $c=3,0823$. Infatti,
\(\displaystyle 30_{\searrow 24 }^{\nearrow 36} \)
con
$p=(e^(delta*(T-t))-d)/((u-d))=(e^(0,06*1)-0,8)/(1, 2-0, 8)=0,65459$
lo strumento derivato si comporta in questo modo:
\(\displaystyle c_{\searrow 0 }^{\nearrow 5} \)
Il valore di $c$ è quindi:
$c=p*c_(u)*e^(delta(T-t))=0,65459*5e^(-0,06*1)=3,0823$
Per quanto riguarda poi il punto b), Il portafoglio di replica è soluzione del sistema:
${ (Delta*S_t*u+B e^(delta(T-t))=c_u ),( Delta*S_t*d+B e^(delta(T-t))=c_d ):}$
e cioè:
${ ( Delta=(c_u-c_d)/((u-d)*S_t) ),(B=(u*c_d-d*c_u)/((u-d)*e^(delta(T-t))) ):}$
da cui:
$Delta=0,41667 ^^ B=-9,41765$
Al tempo $t$, il valore del portafoglio di replica è:
$Delta*S_t+B=0,41667*30-9,41765=3,0823$
ovviamente pari al valore di $c$ precedentemente trovato (la soluzione proposta da Walter presentava criticità anche a questo punto visto che, stando ai suoi risultati: $ 0.471 * 30 -9.434=4,96 != 3.06 $ ).
Addentriamoci ora nell'arbitraggio vero e proprio. Affinché non sia possibile effettuare arbitraggi non rischiosi deve valere (a questo punto dovrebbe essere più che chiaro) che:
$Delta*S_t+B=c$
Se però $c$ fosse pari ad $1$, allora l'equazione di sopra non sarebbe verificata ed in particolare:
$Delta*S_t+B>c$
A questo punto, vendendo allo scoperto $0,41667$ unità di $S$ al prezzo di $30$ si ottiene la somma di $12,5$, di questi si investe $9,41765$ al tasso risk-free ed inoltre si acquista la call sottovalutata al prezzo di $1$ il payoff sarà di:
$0,41667*30-9,41765-1=2,0823$
Che è il profitto da arbitraggio privo di rischio
2.