Option pricing

Salve, non posto mai qui, io studio matematica e non economia (di cui non so veramente nulla), il prof ha fatto un esempio per una tecnica in simulazioni stocastiche, la così detta variabile antitetica che permette di ridurre la varianza e quindi permette di ridurre l'errore nella stima del valore atteso usando il metodo Monte Carlo. Mi piacerebbe capire il senso intuitivo che c'è dietro (non tanto alla tecnica stocastica, ma all'interpretazione economica delle cose in gioco).


Esempio: Pricing for an European option \( \mu = \mathbb{E}[Z] \) dove \(Z = e^{-rT} \psi(S_T) \), dove \( \psi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è un option's payoff (che è una funzione crescente?) e dove \(S_t \) è il valore di un asset al tempo \(t\) modellizzato dal equazione differenziale stocastica seguente
\[ dS_t = r S_t dt + \sigma S_t d W_t \]
con \(W_t\) un processo di Wiener standard e \(S_0\) è dato. Si può dimostrare che \(X_t = \log \left( S_t/S_0 \right) \) soddisfa l'equazione differenziale stocastica con coefficienti costanti
\[ d X_t = (r-\sigma^2/2)dt + \sigma d W_t , X_0=0 \]
la cui soluzione è \(X_t = (r-\sigma^2/2)t + \sigma W_t \sim \mathcal{N}((r-\sigma^2/2)t,\sigma^2t) \). Quindi \(S_T = S_0 e^{X_T} \) ha la distribuzioe log-normale con \(X_T \sim \mathcal{N}((r-\sigma^2/2)T,\sigma^2T) \) e \( \mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{r T} \). Definendo
\[ \tilde{\psi}( X_T) = e^{-r T} \psi(S_0 e^{X_T}) = e^{-rT}\psi(S_T)= Z \]
abbiamo che \(X_T\) essendo normale ha una distribuzione simmetrica attorno alla media (i.e. \(2 \mathbb{E}[X_T] - X_T \sim X_T \) ), inoltre \(\tilde{\psi}\) è crescente essendo una composizione di funzioni crescenti quindi per la disuguaglianza di Chebishev per la covarianza abbiamo che \( Z = \tilde{\psi}(X_T) \) e \(Z_a = \tilde{\psi}(2 \mathbb{E}[X_T]-X_T) \) sono correlate negativamente (i.e. \(\operatorname{Cov}(Z,Z_a) \leq 0 \)) e \( \mathbb{E}[Z]= \mathbb{E}[Z_a] \) pertanto lo stimatore della variabile antitetica
\[ \widehat{\mu_{AV}} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N/2} \left( \tilde{\psi}(X_T^{(j)}) + \tilde{\psi}( (2r-\sigma^2)T- X_T^{(j)}) \right) \]
dove \(X_T^{(i)} \sim^{i.i.d.} \mathcal{N}\left( (r- \sigma^2/2)T, \sigma^2 T \right)\), è uno stimatore di \( \mu \) che porta ad una riduzione della varianza.


Domande: Come interpretare (intuitivamete) economicamente le equazioni differeziali che ci sono e le varie variabili/costanti? Cos'è un option pricing? E cos'è un payoff? E un asset? Grazie

Questa è roba di finanza di cui so poco, comunque posso dirti (brevemente perché è tardi e non ce la faccio ) alcune cose.

Asset è un termine generico che significa attività in senso economico, qualsiasi cosa abbia un valore economico per un soggetto.
Si usa anche in contabilità per dire attività (asset) , insieme a liabilities (passività).
Qui si parla però in particolare di attività finanziarie, cioè un qualsiasi titolo finanziario tipo bond (obbligazioni) e azioni, o titoli come i derivati, di cui fanno parte le opzioni.

I derivati sono in sostanza dei contratti, fatti sulla base di altri titoli finanziari, che sono detti il sottostante.

Option pricing significa prezzatura delle opzioni, cioè valutare il prezzo delle opzioni.

Payoff vuol dire in genere quello che si guadagna (o si perde, se negativo):

"Nel contesto delle opzioni finanziarie, il payoff si riferisce al guadagno o alla perdita che un acquirente o un venditore di un’opzione può ottenere al momento della scadenza dell’opzione."

Le equazioini differenziali dicono ovviamente come varia la variabile nel tempo, però si dovrebbe sapere che sono le variabili, $r$ ad esempio, dovrebbe essere un tasso di interesse, un fattore di sconto, lo vedo all'esponente di $e$, $e^{-rt}$ è di solito il modo di scontare (attualizzare) flussi di reddito o altre variabili nel tempo.
Cioè, un guadagno oggi non è lo stesso di un guadagno domani, o tra un anno o tra dieci anni, e questo guadagno va 'scontato', cioè va valutata questa differenza dovuta a preferenze temporali.
$\sigma$ non so che sia, può essere uno scarto quadratico di qualche cosa, vedo anche che sta nella media e nella varianza della normale dopo, ma boh, viene sottratto a $r$, che vor dì.

Al momento non so che altro dirti, visto che non conosco il metodo di valutazione delle opzioni, vedo se domani posso darci uno sguardo.

Se passa qui un esperto di finanza può spiegarti di più.

Buonanotte!

[edit] $\sigma$ dovrebbe essere la volatilità, misura quanto fluttuano i prezzi, quindi è in effetto uno scarto quadratico medio:
"In finanza, la volatilità è una misura della variazione percentuale del prezzo di uno strumento finanziario nel corso del tempo. La volatilità storica deriva dalla effettiva serie storica dei prezzi misurabile nel passato. La volatilità implicita deriva dal prezzo di mercato delle opzioni dello strumento finanziario analizzato, per scadenze future attualmente scambiate. Il simbolo σ viene utilizzato per la volatilità, e corrisponde alla deviazione standard." https://it.wikipedia.org/wiki/Volatilit%C3%A0_(economia)

Quindi l'equazione differenziale la cui soluzione è $X_t = (r-\sigma^2/2)t + \sigma W_t $ ci dice che il valore delle opzioni dipende positivamente da $r$ (il tasso a cui viene attualizzato il payoff) e negativamente dalla volatilità, la varianza $\sigma^2$, più una parte stocastica rappresentata dal moto browniano $W_t$.

Il che mi pare abbastanza intuitivo, più $r$ è grande, più un bene presente è preferito a quello futuro, e quindi il valore al tempo $t$ attuale è maggiore, e maggiore è la volatilità maggiore è il rischio delll'asset.

Di più non so dirti se non studio l'argomento.

A European.

E quindi? Che intendi?
Forse correggevi l'articolo davanti 'European'?

Gabriella ti ringrazio molto per aver dedicato del tempo a dare delle risposte con quanti dettagli più possibili!

Figurati, io non sono il guru della finanza, ma nelle cose base mi arrangio.
Spero di esere riuscita a chiarire delle cose per orientarsi.

Sì correggevo l'articolo