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03/04/2006, 10:54
Salve,
sto cercando una dimostrazione COMPLETA del seguente teorema.
Indicando con Vp(n) la potenza alla quale un primo p divide n
il teorema è :
Vp(n!) = somma per k>= 1 del floor(n / p^k)
Qualcuno può indicarmi magari l'indirizzo di un paper....che contiene tale teorema.
03/04/2006, 13:59
Cosa è il floor?
03/04/2006, 14:12
il floor è l'approssimazione per difetto.
per esempio:
floor(3) = 3
floor(3,2)=3
floor(3,8)=3
03/04/2006, 14:13
nochipfritz ha scritto:Salve,
sto cercando una dimostrazione COMPLETA del seguente teorema.
Indicando con Vp(n) la potenza alla quale un primo p divide n
il teorema è :
Vp(n!) = somma per k>= 1 del floor(n / p^k)
Qualcuno può indicarmi magari l'indirizzo di un paper....che contiene tale teorema.
Sia $\alpha_k$ il quoziente della divisione intera di $n$ per $p^k$, qualunque sia $k \in \mathbb{N}$. Questo significa che, per ogni $k = 1, 2, ...$, esistono esattamente $\alpha_k$ interi positivi $\le n$ tali che $p^k$ | $n!$. E allora $v_p(n!) = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k$, dove soltanto finiti termini della serie a secondo membro sono ovviamente $\ne 0$. Senonché $\alpha_k = $floor$(n/p^k)$, per ogni $k \in \mathbb{N}$. Ne segue la tesi, q.e.d.
Ultima modifica di DavidHilbert il 03/04/2006, 14:16, modificato 1 volta in totale.
03/04/2006, 14:14
ah, allora è meglio indicarla con $[x]$
03/04/2006, 14:17
eafkuor ha scritto:ah, allora è meglio indicarla con $[x]$
...veramente $[x]$, nella notazione standard, denota l'intero più vicino ad $x$ (
click)
03/04/2006, 14:20
Ti giuro che non lo sapevo, il mio libro di testo usa quel simbolo per indicare la parte intera di x
03/04/2006, 14:21
eafkuor ha scritto:Ti giuro che non lo sapevo, il mio libro di testo usa quel simbolo per indicare la parte intera di x
Ti credo. Brucia il tuo libro.
03/04/2006, 14:31
Noi informatici usiamo floor e ceiling per denotare rispettivamente le approssimazioni per difetto e per eccesso
Grazie Hilbert. La tua dimostrazione è pressochè simile a quello che leggo in un testo :
This follows immediately from the observation that the numbers
1, 2, . . . , n include exactly floor(n/p) multiplies of p, floor(n/(p^2)) multiplies of p^2,
and so on.
Ma non riesco a convincermi di questo fatto!
Soprattutto non capisco perchè per ogni i>Vp(n!) si ha esattamente che floor(n / (p ^ i)) = 0.
03/04/2006, 14:44
nochipfritz ha scritto:Soprattutto non capisco perchè per ogni i>Vp(n!) si ha esattamente che floor(n / (p ^ i)) = 0.
Se $i > v_p(n!)$, allora $p^i > n$, per la definizione stessa di $v_p(n!)$, e perciò $0 \le \frac{n}{p^i} < 1$. Dunque viene da sé che floor$(n/p^i) = 0$.
EDIT: ci stava un fattoriale di troppo!
Ultima modifica di DavidHilbert il 03/04/2006, 17:59, modificato 1 volta in totale.
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