Applicazione del lemma che non è di Burnside.

Problema:
Il benzene è una molecola formata da 6 atomi da 6 atomi di carbonio e 6 atomi di idrogeno, ciascun atomo di carbonio è legato ad altri due atomi di carbonio formando un esagono regolare, in più ciascun atomo di idrogeno è legato ad un atomo di carbonio.
I clorobenzeni, diclorobenzeni, ... , esaclorobenzeni sono delle molecole formate rimpiazzando 1,2,...,6 atomi di idrogeno per 1,2,...,6 atomi di cloro.
In totale quante di queste molecole possiamo sintetizzare ?

Per trovare il numero di totale di molecole da sintetizzare ho pensato di utilizzare il lemma di Burnside. Ovvero l'enunciato
Sia \( G \) un gruppo finito e \( G \circlearrowright X\) un azione a sinistra su un insieme finito. Sia \( X^g = \{ x \in X, gx=x \} \)l'insieme dei punti fissi di G. Abbiamo che
\[ \begin{vmatrix}
G \text{ \ } X
\end{vmatrix}=\frac{1}{\begin{vmatrix}
G
\end{vmatrix}} \sum\limits_{g \in G} \begin{vmatrix}
X^g
\end{vmatrix} \]

Il numero di orbite di G dentro X.

Pensavo di prendere il gruppo diedrale \( \mathbb{D}_{12} \) che contiene 6 rotazioni e 6 simmetrie. Il problema è che non ho ben capito com'è formato questo gruppo ne come contare i punti fissi di ciascun elemento su \( X \) (le nostre molecole). Mi piacerebbe chiarirmi le idee, magari con un esempio su come contare i punti fissi di un elemento di \( \mathbb{D}_{12} \) su \( X \). Grazie

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Non ho idea di come aiutarti con questo problema però mi piace molto. È un problema "reale", non il solito giocattolo artificiale che ti propinano ai primi anni. Hai fatto proprio bene ad andare a studiare all'estero.

Potrebbe essere completamente sbagliato, è tardi (o presto) ma... poniamo \( G=\mathbb{D}_{12} \) e \( X = \) insieme di tutte le molecole costruite come da problema.
Il gruppo diedrale \( \mathbb{D}_{12} \) dovrebbe contenere la rotazione identità (di ordine 1), 2 rotazioni di ordine 3, 2 rotazioni di ordine 6 e una rotazione di ordine 2 e dovrebbe contenere inoltre 6 simmetrie di ordine 2.

Dunque se \( g= \operatorname{id} \) abbiamo che \( \begin{vmatrix}X^{\operatorname{id}} \end{vmatrix} = 2^6 = 64 \)
Perché \( X \) essendo l'insieme di tutte le molecole descritte nel problema abbiamo la rotazione identità non cambia evidentemente niente, dunque ciascuna molecola è un punto fisso di \( X^{\operatorname{id}} \).

Se \( g=\) è una rotazione di ordine 6, per far si che \( gx \) sia un punto fisso abbiamo necessariamente che la scelta di un atomo (tra idrogeno e cloro) determina la scelta di tutti gli altri, quindi solo il benzene e il esaclorobenzene, sono punti fissi. \( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^1 = 2 \)

Se \( g=\) è una rotazione di ordine 3, per far si che \( gx=x \) abbiamo che la scelta di un atomo (tra idrogeno e cloro) determina la scelta di altri due atomi, dunque possiamo sceglierne due.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^2 = 4 \)

Se \( g=\) è una rotazione di ordine 2, per far si che \( gx=x \) abbiamo che la scelta di un atomo determina la scelta di un altro atomo, dunque possiamo sceglierne tre.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^3 = 8 \)

Se \( g=\) è una simmetria di ordine 2, di asse passante per due atomi opposti, per far si che \( gx \) sia un punto fisso, notiamo innanzitutto che i due atomi sull'asse di simmetria non cambiano dunque possiamo sceglierli liberamente, inoltre la scelta di un atomo che non è sull'asse di simmetria determina la scelta di un altro atomo, dunque possiamo sceglierne quattro.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^4 = 16 \)

Se \( g=\) è una simmetria di ordine 2, di asse non passante per due atomi, per far si che \( gx \) sia un punto fisso, notiamo che la scelta di un atomo determina la scelta di un altro atomo, dunque possiamo sceglierne tre.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^3 = 8 \)

Abbiamo inoltre \( \begin{vmatrix}G \end{vmatrix} = 12 \) pertanto

\( \begin{vmatrix} G \text{ \ } X \end{vmatrix} = \frac{1}{12} (2^6 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 3 \cdot 2^4 + 3 \cdot 2^3)=13 \)
Che dovrebbe anche essere il totale di molecole che possiamo sintetizzare.

Ora il mio approccio è stato molto intuitivo e poco formale, è corretto il mio ragionamento? C'è un approccio più formale?

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Anche a me piace questo problema. Grazie!

A me sembra più un problema di combinatoria (che differenza c'è tra la combinatoria finita e la teoria delle azioni di un gruppo finito dite? Beh, sì, a volte non molta, appunto...)