Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli

Se rimarco alcuni punti è per fissarli bene dato che la tua esposizione è generalmente tortuosa e talvolta gira su sé stessa e ritorna al punto di partenza.

Se continuo a chiederti cosa sia $x$ è solo perché non è per niente chiaro.
Questo

… $ x $ ho detto essere un valore $ ∈NN $ restituito dalle forme a1x, a2x, b1x, b2x che mi restituiscono tutti i valori $ k $ che in $ 6k+-1 $ hanno un elemento composto.

è incomprensibile, matematicamente parlando: cosa significa che $x$ è restituito da delle forme? cosa vuol dire "restituiscono tutti i valori di $k$"?

Oppure cosa significa quest'altro pezzo?

a1x. $ (6k−1)y−k $ che sostituito in $ 6x+1 $ darà un composto multiplo di $ 6k−1 $ come $ v+ $

Come sostituisci la prima espressione nella seconda? Non lo dici …
Come hai ricavato la prima espressione? Non lo dici …

@axpgn
perdonami come più volte detto sono un informatico e non un matematico quindi ho delle carenze nell'esposizione.

per me $x$ è una variabile a cui assegno i valori delle espressioni che ho chiamato ax1, ax2, b1x, b2x

faccio l'esempio con a1x:

so che il composto a1 è nella forma $(6k-1)(6y-1) = 36ky-6k-6y+1$

questo risultato sarà un composto multiplo di $(6k-1)$ che avrà la forma $6(6ky-k-y)+1$

a1x $(6k−1)y−k$ è esattamente $6ky-y-k$ quindi a1 corrisponde ad un $v_+$ con $k=6ky-y-k$ e così via
Dato che $k$ lo sto già usando e risulta ambiguo mi sembrava più chiaro usare $x$.

L'ho ricavato non con questo passaggio che è più elementare e forse comprensibile. Questo perché all'inizio non sospettavo che ci fosse regolarità e che potevo individuarla in questo modo più semplice. Lì per lì non avevo nemmeno la comprensione che tutti i composti fossero nella forma $(6k-1)(6y-1)$ che di per sé come anche tu fai notare non ha nulla di speciale dato che ci sono infinite combinazioni per descrivere un composto in $6k+-1$.
Il percorso è stato un po' diverso. Ho supposto che i composti in $6k+-1$ fossero tali e mi sono chiesto se esistesse un modo per selezionare tutti i valori $k$ associabili a composti. Questo spiega perché li ho scritti in quella forma con tra parentesi il valore del composto di cui cercavo tutti i rispettivi multipli. Trovandoli li ho chiamati $x$ e da lì la formulazione contorta che lamenti.

Una volta compreso che per quei valori che supponevo composti e che chiamavo $6x+-1$ avevo di fatto tutti i composti nella forma $(6k+-1)(6y+-1)$ e verificato che a1x, a2x, b1x, b2x erano corretti li ho lasciati così ritenendo la cosa sufficientemente chiara e ho rivolto tutta la mia attenzione al crivello dei gemelli che subito mi è venuto in mente di fare.
Inoltre mi sono accorto che il crivello potevo usarlo anche per individuare i valori primi isolati e quindi che tutti i salti fra primi successivi sono diretta conseguenza della distribuzione dei composti in $6k+-1$ e con essa posso spiegarli e affermare che non sono irregolari.

Studiando poi il crivello dei gemelli mi sono accorto che i valori a1x, a2x e b1x, b2x sono modulari e ho sfruttato questa modularità per superare il problema degli algoritmi (funzionano ma non li puoi usare in genere per dimostrare qualcosa) e tentare di risolvere il problema di cercare infiniti $k$ produttivi di primi gemelli.

Spero di aver chiarito i punti che non ti sono chiari

… sono un informatico e non un matematico …

Io un elettrotecnico (mai esercitato)

per me $ x $ è una variabile a cui assegno i valori delle espressioni …

E quindi ti basta scrivere $x=...$ o $a_x=...$ oppure $a_(x1)=...$ e sostituire ai puntini l'espressione appropriata così diventerebbe più chiaro per tutti ciò che vuoi dire.

so che il composto a1 è nella forma $ (6k-1)(6y-1) = 36ky-6k-6y+1 $

questo risultato sarà un composto multiplo di $ (6k-1) $ che avrà la forma $ 6(6ky-k-y)+1 $

a1x $ (6k−1)y−k $ è esattamente $ 6ky-y-k $ quindi a1 corrisponde ad un $ v_+ $ con $ k=6ky-y-k $ e così via
Dato che $ k $ lo sto già usando e risulta ambiguo mi sembrava più chiaro usare $ x $.

Aspetta, aspetta … questo è il tuo solito modo di fare, un giro tortuoso che torna al punto di partenza ma di cui non te ne accorgi ...
Se ho capito bene, dici che il prodotto di $(6k-1)(6y-1)$ è $36ky-6k-6y+1 $ che è uguale a $ 6(6ky-k-y)+1 $ e poi chiami $x$ l'espressione tra parentesi $6ky-k-y$; ciò significa che sei passato da $(6k-1)(6y-1)$ a $(6k-1)(6x-1)$ ovvero la stessa cosa!!!

In attesa di capire come poi da qui costruisci il "crivello" fammi aggiungere un paio di pensieri:
- ammesso e non concesso che il tuo crivello funzioni correttamente, il crivello non è il metodo più efficiente per trovare primi (isolati o gemelli che siano); da Eratostene passi avanti sono stati fatti e ci sono metodi decisamente migliori.
- hai detto che il tuo scopo è "dimostrare che esistono infinite coppie di primi gemelli"; ora, questo è impossibile farlo con un crivello (che serve per trovare i primi) dato che non puoi dimostrare che un insieme è infinito contandone i membri, chiaro?

Aspetta, aspetta … questo è il tuo solito modo di fare, un giro tortuoso che torna al punto di partenza ma di cui non te ne accorgi ...
Se ho capito bene, dici che il prodotto di (6k−1)(6y−1) è 36ky−6k−6y+1 che è uguale a 6(6ky−k−y)+1 e poi chiami x l'espressione tra parentesi 6ky−k−y; ciò significa che sei passato da (6k−1)(6y−1) a (6k−1)(6x−1) ovvero la stessa cosa!!!

ti ringrazio per le osservazioni.
Forse è corretto scrivere che chiamo $6x+-1$ tutti i valori $v_a$ sia $v_-$ ce $v_+$ che non sono primi ma composti e che questi possono essere solo in queste quattro forme:

tutti i composti multipli di $6k-1$
a1. $6x+1=(6k-1)(6y-1)=36ky−6k−6y+1=6(6ky-k-y)+1$ con $x=6ky−k−y$ (a1x)
a2. $6x-1=(6k-1)(6y+1)=36ky+6k−6y-1=6(6ky+k-y)-1$ con $x=6ky+k−y$ (a2x)

tutti i composti multipli di $6k+1$
b1. $6x-1=(6k+1)(6y-1)=36ky−6k+6y-1=6(6ky-k+y)-1$ con $x=6ky−k+y$ (b1x)
b2. $6x+1=(6k+1)(6y+1)=36ky+6k+6y+1=6(6ky+k+y)+1$ con $x=6ky+k+y$ (b2x)

con i rispettivi valori a1x, a2x, b1x, b2x effettuo un crivello.
Ora mi interessa la considerazione:

- ammesso e non concesso che il tuo crivello funzioni correttamente, il crivello non è il metodo più efficiente per trovare primi (isolati o gemelli che siano); da Eratostene passi avanti sono stati fatti e ci sono metodi decisamente migliori.
- hai detto che il tuo scopo è "dimostrare che esistono infinite coppie di primi gemelli"; ora, questo è impossibile farlo con un crivello (che serve per trovare i primi) dato che non puoi dimostrare che un insieme è infinito contandone i membri, chiaro?

io prima ho scritto:

Studiando poi il crivello dei gemelli mi sono accorto che i valori a1x, a2x e b1x, b2x sono modulari e ho sfruttato questa modularità per superare il problema degli algoritmi (funzionano ma non li puoi usare in genere per dimostrare qualcosa) e tentare di risolvere il problema di cercare infiniti k produttivi di primi gemell

non posso dimostrare che un insieme è infinito contandone i membri perché dovrei continuare a contare all'infinito ma posso dimostrare che un insieme è infinito dimostrando che trovato un qualsiasi valore $k_a$ produttivo una coppia di gemelli ne esisterà sempre uno $k_b>k_a$
Credo che questo sia un approccio corretto dato che sostanzialmente fu quello usato da Euclide per dimostrare che i primi sono infiniti. Come detto se il crivello è corretto posso applicare un metodo che mi permette di trovare una regolarità nella sequenza che mi fa procedere passo dopo passo, dimostro che questa è destinata a ripetersi all'infinito e la sfrutto per arrivare a dimostrare che esistono infiniti $k$ produttivi di primi gemelli.

Se abbiamo superato l'equivoco su $x$ e trovi corrette le sequenze passo ad illustrare il funzionamento del crivello di cui parlo

Premesso che io chiamerei a1x, a2x, b1x, b2x come $x_(a1),x_(a2),x_(b1),x_(b2)$ visto che sono i valori che hai chiamato $x$ e che, da parte mia, non vedo differenze tra a2 e b1, allora

con i rispettivi valori a1x, a2x, b1x, b2x effettuo un crivello.

Come?

il crivello funziona nel seguente modo:
- per ogni $v_a$ partendo da $v_1, v_2, v_3... v_a$ eseguo le rispettive funzioni $X_"a1", X_"a2"$ oppure $X_"b1", X_"b2"$
- tutti i $v_a$ con indice dispari, cioè quelli di tipo $v_-$, hanno i multipli per i valori di $X_"a1", X_"a2"$
- tutti i $v_a$ con indice pari, cioè quelli di tipo $v_+$, hanno i multipli per i valori di $X_"b1", X_"b2"$
- dato $n$ l'insieme di tutti i $NN$

eseguo il primo passo per $v_1$ ed elimino tutti i valori $n$ corrispondenti a $X_"a1", X_"a2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$

i primi valori di questa serie sono:
$4;6;9;11;14;16;19;21;24;26... etc$

questi valori producono in $6n+-1$ una coppia contenente un composto multiplo di $v_1$ quindi possiamo escluderli definitivamente perché con certezza non sarà una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"a1"$ sarà l'elemento $v_+$, per tutti gli $X"a2"$ sarà l'elemento $v_-$)



i restanti valori $n$ saranno tutti quelli potranno ancora essere produttivi di una coppia di primi gemelli e andremo a verificarli proseguendo con questo crivello.

eseguiamo ora la serie per $v_2$ ed eliminiamo tutti i valori $n$ corrispondenti a $x_"b1", x_"b2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$

i primi valori di questa nuova serie sono:
$6;8;13;15;20;22;27;29;34;36... etc$



anche in questo caso potremo escludere tutti questi valori perché non produttivi una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"b1"$ sarà l'elemento $v_-$, per tutti gli $X"b2"$ sarà l'elemento $v_+$)

il risultato dei due passi sarà il seguente




nota: questo crivello è orientato ai primi gemelli ma conoscendo anche quali sono i composti $v_-$ e $v_+$ che vado ad eliminare ne consegue che tutti i salti fra numeri primi rispondono a queste quattro funzioni in modo determinato.
Che sia la distanza minima equivalente a quella dei primi gemelli o una distanza molto grande questa è determinata dalla distribuzione di tutti i valori che abbiamo chiamato $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$
Questa è la regolarità di cui vado parlando.
Dire che le distanze fra primi successivi sono determinate dal fatto che fra loro ci sono composti è di per sé banale e non dice nulla. Se si osserva tutto l'insieme $NN$ ci sfugge come questo avviene. Così invece è molto più chiaro:
- se è 2 questo è perché non ci sono composti nella coppia $6k-1;6k+1"$
- se è 4 questo è perché non ci sono composti fra $6k+1$ e $6(k+1)-1$
- se è $>4$ sarà tanto grande quanti sono i composti di $6k+-1$ che li separano

Tornando ai primi gemelli e al crivello la domanda successiva è quando possiamo dire che un dato $n$ che fin lì non ho eliminato non appartiene più con certezza a nessun valore di $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$ e quindi è produttivo di una coppia di primi gemelli?
Per farlo mi è di aiuto descrivere quella che ho chiamato matrice dei composti e che andrò a dettagliare al passo successivo una volta verificato che fin qui non ci sono errori

Sinceramente non riesco a seguirti; ho provato a rileggere il tuo post un po' di volte ma mi sembra un serpente che si morde la coda … non ne vengo a capo …

Comunque dato che il crivello non serve per determinare l'eventuale infinitudine dei primi gemelli e che come metodo per trovare primi non è granché efficiente, dicci qual è l'idea, il concetto, l'argomento ovvero la dimostrazione che ti porta ad affermare questo?

cosa non è chiaro?

l'idea è che il crivello non usa come per quello di Eratostene i primi che man mano trova ma pulisce i valori produttivi delle funzioni $X_"a1",X_"a2",X_"b1",X_"b2"$.
Questi sono modulari e attraverso questi moduli trovo una sequenza che mi consente di dire che andando avanti all'infinito troverò sempre valori $k$ che in $6k+-1$ producono una coppia $v_-;v_+$ che sono primi gemelli.

Mi sfugge cosa c'è di contorto perché il mio ragionamento è piuttosto lineare.

con $k=1$ ho una coppia di valori $v_-, v_+$ che corrisponde a $5;7$. Questa coppia come tutte le altre per $k=n$ è potenzialmente una coppia di primi gemelli dato che questi possono esserlo solo in questa forma. Per confermare o escludere che sia così per tutte devo stabilire un modo per dire che sia il valore $v_-$ che il valore $v_+$ non sia un composto.
Lo posso fare con le funzioni che mi individuano i composti nella forma $6x+-1$ e quindi andando ad eliminare via via tutti i $k$ in cui troverò almeno un composto con $6k+-1$.

con $X_"a1"$ posso selezionare tutti i valori $x$ in cui, per $6x+1$, troverò composti multipli di $v_1=5$ nella forma $v_+$. Infatti la sequenza è per i valori $X_"a1"(k,y)$:
- $X_"a1"(1,1)=4$ quindi $6*4+1 = 25$ cioè $5*5$
- $X_"a1"(1,2)=9$ quindi $6*9+1 = 55$ cioè $5*11$
- $X_"a1"(1,3)=14$ quindi $6*14+1 = 85$ cioè $5*17$
- $X_"a1"(1,4)=19$ quindi $6*19+1 = 115$ cioè $5*23$
etc.

con $X_"a2"$ posso selezionare tutti i valori $x$ in cui troverò,per $6x-1$, composti multipli di $v_1=5$ nella forma $v_-$. Infatti la sequenza è per i valori $X_"a2"(k,y)$:
- $X_"a2"(1,1)=6$ quindi $6*6-1 = 35$ cioè $5*7$
- $X_"a2"(1,2)=11$ quindi $6*11-1 = 65$ cioè $5*13$
- $X_"a2"(1,3)=16$ quindi $6*16-1 = 95$ cioè $5*19$
- $X_"a2"(1,4)=21$ quindi $6*21-1 = 125$ cioè $5*25$
etc.

posso quindi escludere dai valori $k$ l'insieme $4,6,9,11,14,16,19,21, ecc.$ perché per quei valori non avrò primi gemelli.
Restano $1,2,3,5,7,8,10,12,13,15,17,18,20, etc.$

Stessa cosa posso fare per tutti i composti multipli di $v_2=7$ con $X_"b1"$ e $X_"b2"$.

dopo aver escluso tutti i composti di $v_2=7$ che sono $6,8,13,15,20,22 etc.$
restano $1,2,3,5,7,10,12,17,18, etc.$

dato che $v_3$ ha il primo multiplo con $X_"a1"(2,1)=9$ equivalente a $6*9+1=55$ cioè $11*5$ tutti i valori inferiori di $9$ rimasti dopo i primi passaggi del crivello posso dire con assoluta certezza che sono primi gemelli perché non potranno più essere puliti da composti per valori $v_a>v_2$ infatti:
- $k=1$ restituisce $5,7$
- $k=2$ restituisce $11,13$
- $k=3$ restituisce $17,19$
- $k=5$ restituisce $29,31$
- $k=7$ restituisce $41,43$

Andando avanti ad escludere tutti i valori prodotti da queste funzioni quelli che resteranno identificano coppie di primi gemelli $v_-;v_+$.
Più passi faccio e più copro valori sempre maggiori di $k$ di cui potrò dire se sono o non sono produttivi di coppie di primi gemelli.
Trovando, grazie alla modularità delle funzioni $X_a$ ed $X_b$ delle sequenze prevedibili che mi permettono di capire quanti $k$ man mano che avanzo sono produttivi di primi gemelli posso arrivare alla conclusione che avanzando all'infinito troverò sempre nuovi $k$ che corrispondono a primi gemelli.

Mi sfugge cosa c'è di contorto perché il mio ragionamento è piuttosto lineare.

Beato te che ne sei convinto.

… delle funzioni $ X_"a1",X_"a2",X_"b1",X_"b2" $.

Funzioni? quando le hai definite? dove? come? finora si è parlato di valori $x$ ma non di funzioni …

… pulisce i valori produttivi …

Cosa sono i "valori produttivi" ? quando li hai definiti? dove? come?

Questi sono modulari ...

Che significa "sono modulari"?

… attraverso questi moduli trovo una sequenza che mi consente di dire che andando avanti all'infinito …

L'hai trovata questa sequenza? O la devi trovare?

Come vedi di cose ne devi definire, per bene, parecchie, altrimenti il discorso NON è chiaro …

Andando avanti, a me pare che il funzionamento del tuo crivello è analogo, concettualmente, a quello di Eratostene, ovvero elimini elementi in base a quelli che hai trovato … né più né meno …

Trovando, grazie alla modularità delle funzioni $ X_a $ ed $ X_b $ delle sequenze prevedibili che mi permettono di capire quanti $ k $ man mano che avanzo sono produttivi di primi gemelli posso arrivare alla conclusione che avanzando all'infinito troverò sempre nuovi $ k $ che corrispondono a primi gemelli.

Questa non è una dimostrazione ma una dichiarazione di intenti: trovando (forse) ... potrò (forse) … IMHO

Andando avanti ad escludere tutti i valori prodotti da queste funzioni quelli che resteranno identificano coppie di primi gemelli $v_-;v_+$.

In pratica

1. Hai una lista infinita di candidate coppie di primi gemelli.

2. Da questa lista escludi progressivamente coppie che non sono primi gemelli.

3. Quello che ti rimane sono coppie di primi gemelli.

Ma niente ti garantisce che ti rimangano infinite coppie.

A scanso di equivoci: guarda che il fatto che le coppie di primi gemelli sono del tipo $6n-1,6n+1$ è una banalità, mentre tu la tratti come la profonda idea centrale della tua tecnica.