La successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci e',come noto,data da:
F0=0,F1=1,F2=1 e F(i)=F(i-2)+F(i-1) per i>2.
Essa ha una infinita' di proprieta' tra cui ne
ho scelta una (abbastanza semplice):
<b>Dimostrare che due termini consecutivi della successione
( a partire dal quarto ) sono coprimi ,cioe' primi tra loro.</b>
karl.



Modificato da - karl il 18/02/2004 23:04:16

Se due termini consecutivi avessero un fattore in comune allora, per la relazione ricorsiva, l'avrebbero tutti i termini sia seguenti che precedenti. Ma tra i termini c'è il numero 1 e quindi l'unico fattore comune a due termini consecutivi è 1.

Cavia

Forse ci sono:
Siano f(i+1) e f(i) i numeri di cui si vuole verificare la coprimalità.
Sia f(i)= a*b*c*.... con a,b,c fattori primi (eventualmente con molteplicità > 1 )
Se f(i+1) non fosse coprimo a f(i) vorrebbe dire che la loro differenza è divisibile per qualcuno dei fattori primi di f(i).
La differenza f(i+1)-f(i)=f(i-1) dunque il problema si risolve se f(i) e f(i-1) sono coprimi tra loro.
Andando avanti troviamo che f(3)=2 è primo rispetto a f(4)=3 e per induzione la tesi.

P.S Ho problemi con il più, non me lo scrive. Qualcuno sa perchè?

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P.S. Il problema con il + me lo da solo in anteprima

In ogni caso sarebbe più corretto parlare di "successione" di Fibonacci piuttosto che di "serie".


Cavia

Una cosa non ho capito: perché " a partire dal quarto"? I primi quattro termini sono 0,1,1,2. Mi sembra che ciascuno sia coprimo col successivo, no?

Cavia

Un numero vedendo due termini consecutivi della successione di Fibonacci dice: - Coprimi!-
E il più vicino dei due: - Con cosa vuoi che ti copra? -


Cavia

Ok! Ora che abbiamo rotto il ghiaccio con
La <b>successione</b>di Fibonacci,ve ne posto un'altra
( a mio parere un po' piu' articolata):
<b>Dimostrare che il M.C.D. tra F(n) ed F(m)
e' F(r),essendo r il M.C.D. tra n ed m.</b>
M.C.D.=massimo comune divisore.
Ad es. sia F8=21 ed F12=144,allora:
M.C.D.(F8,F12)=3=F4,essendo 4=M.C.D.(8,12).
Grazie per la correzione:in verita' stavo studiando una serie
in cui c'entra anche la succesione di Fibonacci ed e' scappato
il lapsus ( magari in seguito la posto;ho avuto difficolta' a
risolverla).
karl.



Modificato da - karl il 18/02/2004 23:08:14

Si può estendere la dimostrazione a tre termini successivi.
(riferito al primo quesito)



Modificato da - pachito il 18/02/2004 23:07:37

Scriverò in dettaglio la risposta che ho trovato domani (sto crollando dal sonno!). In due parole si tratta di questo: usando l'algoritmo di Euclide per il MDC mediante sottrazioni consecutive si vede che c'è una perfetta corrispondenza tra i confronti e le sottrazioni tra le coppie del tipo F(i) e F(j) e le corrispondenti coppie i e j.
Buona notte.

Cavia