Uguaglianza tra numeri coprimi e congruenza

salve, nella dimostrazione del teorema di Huppert (Se tutti i sottogruppi massimali di $G$ hanno indice primo, $G$ è supersolubile.) mi imbatto in questo passaggio:

"allora $|G:M|$ è coprimo con $p$, ovvero in altre parole, $|G:M|=1$ (mod $p$)"

non mi è chiaro questo passaggio perchè $|G:M|=d$ è coprimo con $p$ significa per Bezout che esistono $a,b \in \mathbb{Z}$ tali che $ad+bp=1$ ovvero in $\mathbb{F}_p$: $ad=1$ (mod $p$).
Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo.
(Se serve, la dimostrazione sta a pagina 30 a questo link: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/do ... 1&type=pdf )

Guarda, te lo dico onestamente: la persona che ha scritto il file nel link non ha le idee molto chiare. Quel poco che ho letto non ha molto senso. Il fatto che $N_G(S)$ ha indice congruo a 1 modulo $p$ è il teorema di Sylow (dato che tale indice è uguale al numero di $p$-sottogruppi di Sylow) ma dal fatto che M lo contiene non si può dedurre che anche M ha indice congruo a $1$ modulo $p$ come fa lui. Per esempio $12$ è congruo a $1$ modulo $11$ ma i suoi divisori diversi da $1$ ovviamente non lo sono.

Un consiglio: risali sempre alla fonte prima, ovvero in questo caso l'articolo originale di Huppert, o perlomeno un libro di testo, come per esempio quello che l'autore ha certamente usato (interpretandolo male), cioè Rose - A course on group theory.

Vai nella sezione 11.16 e trovi questo.

Grazie mille, soprattutto per il consiglio. Potresti mandare anche il resto della dimostrazione così da capirla meglio ? Grazie ancora

Grazie mille, se posso chiedere un ultima cosa , il resto della dimostrazione di Huppert nel pdf di Pinnock la reputi giusta? Visto che dovrò esporla tipo seminario e già avevo quel dubbio che mi hai risolto, vorrei sapere la parte successiva di Hupperrt è affidabile

Ma secondo me lascia perdere quel link, perché non usi un libro di testo tipo il Rose o il Robinson?

sarò onesto, non sono una grande cima nel campo dell'algebra, il rose non ce l'ho a disposizione e il robinson non mi è facile da seguire visto che è molto sintetico e salta passaggi che per me richiedono ragionamento, e visto che stavo organizzando questo piccolo lavoro sui gruppi supersolubili da esporre, avendo trovato questo pdf che mi sembrava più facile da comprendere e che racchiudeva proprio alcune cose del corso di teoria dei gruppi come il fitting frattini sylow ecc mi stava piacendo come dimostrazione. Inoltre la prima parte inerente ai gruppi supersolubili era giusta confrontata con altre fonti quindi da una parte sono sorpreso di apprendere che non è un buon documento come materiale anche se nella parte finale avevo notato qualcosa che mi aveva fatto sorgere qualche dubbio. Comunque mo vedo, visto che non ho troppo tempo a disposizione e di quella dimostrazione grazie anche al tuo invervento la prima parte era chiara e stavo soltanto cercando ci capire a fondo l'ultima parte della dimostrazione dove suppone H nel frattini, perchè a quel punto avrei finito diciamo e potrei organizzare lo studio per esporre l'argomento altrimenti dovrei rimandare l'esame e ricominciare a vedere per questa parte. Ti ringrazio per il tuo parere e il tuo aiuto, sei stato molto gentile.

Se posso chiedere ancora Martino, relativamente a quella parte che ti ho indicato, ovvero quando suppone che $H<\Phi G$:
in questo caso $H$ non è banale quindi non lo è neanche $\Phi G$. Per induzione allora $G/(\Phi G)$ è supersolubile, e dalla teoria sappiamo che per il sottogruppo di Frattini vale $F(G/(\Phi G))=(F(G))/(\Phi(G))$. Allora $ F(G/(\Phi G))$ è un p-gruppo (poichè da questa uguaglianza questo non è altro che il quoziente del Fitting di G che è un p-gruppo?. Inoltre $(G/(\Phi G))/(F(G/(\Phi G)))$ è abeliano ho trovato un riferimento che dice che un gruppo supersolubile ha fitting nilpotente e in particolare $G/F(G)$ è un gruppo abeliano finito.
Qui ho un dubbio: dice "Poichè $F(G/(\Phi G))$ è un p-gruppo, ogni fattore principale di $G/(\Phi G)$ coprimo con p è centralizzato da $G/(\Phi G)$" e capirei perchè in pratica è nilpotente e quindi ha fattori centrali ma perchè coprimi con p? ; inoltre "Questo, insieme al fatto che per ogni gruppo finito $G$ il sottogruppo di Fitting $F(G)$ è uguale a $\cap\{C_G(H/K):H/K$ è un fattore principale di G$\}$, assicura che $F(G/\Phi G)$ è l'intersezione dei centralizzatori in $G/\Phi G$ dei fattori principali di $G/\Phi G$ il cui ordine è $p$." posso capire perchè applica questo fatto considerando i fattori principali ma perchè "il cui ordine è $p$"?.
Poi dovrebbe avere senso poichè sceglie come $C$ uno di questi centralizzatori, allora$(G/(\Phi G))/C$ è abeliano con ordine che divide $p-1$ ho trovato un riferimento che dice che 1. esiste un isomorfismo tra il quoziente del normalizzatore e il centralizzatore di un sottogruppo di un gruppo e l'insieme degli automorfismi di questo gruppo e 2.il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico è un gruppo finito abeliano e $|Aut(C_p)=p-1|$ quindi mettendo insieme questi due fatti si ha quanto detto giusto?
Allora $G/(F(G))$ è abeliano con ordine che divide $p-1$ poichè quoziente di gruppo con queste proprietà?
Poichè $F(G)$ è un p-gruppo, è contenuto in un p-Sylow di G (perchè?). Quindi $G'<F(G)<S$ quindi $G/S$ abeliano con ordine che divide p-1 poichè ancora una volta quoziente di G/F(G) che ha tali proprietà e la conclusione segue poichè questo gruppo è strettamente p-chiuso quindi supersolubile.
Ho scritto in grassetto i motivi dei vari passaggi e i miei dubbi, se ti fosse possibile commentarli. Grazie.

Se posso chiedere ancora Martino, relativamente a quella parte che ti ho indicato, ovvero quando suppone che $H<\Phi G$:
in questo caso $H$ non è banale quindi non lo è neanche $\Phi G$. Per induzione allora $G/(\Phi G)$ è supersolubile, e dalla teoria sappiamo che per il sottogruppo di Frattini vale $F(G/(\Phi G))=(F(G))/(\Phi(G))$. Allora $ F(G/(\Phi G))$ è un p-gruppo (poichè da questa uguaglianza questo non è altro che il quoziente del Fitting di G che è un p-gruppo?.

Ha dimostrato sopra che il Fitting di $G$ è un $p$-gruppo, quindi ogni suo quoziente è un $p$-gruppo.

Inoltre $(G/(\Phi G))/(F(G/(\Phi G)))$ è abeliano ho trovato un riferimento che dice che un gruppo supersolubile ha fitting nilpotente e in particolare $G/F(G)$ è un gruppo abeliano finito.

L'ha dimostrato in 1.10(a).

Qui ho un dubbio: dice "Poichè $F(G/(\Phi G))$ è un p-gruppo, ogni fattore principale di $G/(\Phi G)$ coprimo con p è centralizzato da $G/(\Phi G)$" e capirei perchè in pratica è nilpotente e quindi ha fattori centrali ma perchè coprimi con p?

Perché un fattore coprimo con $p$ è un fattore di \( \displaystyle G/F(G) \) che è abeliano quindi è centralizzato da $G//F(G)$, d'altra parte $F(G)$ sta nel nucleo dell'azione su ognuno di questi fattori principali perché li puoi scegliere in una serie principale che passa per $F(G)$. In altre parole $F(G)$ sta nel nucleo dell'azione di coniugio di $G$ su tutti i fattori principali "sopra" $F(G)$.

inoltre "Questo, insieme al fatto che per ogni gruppo finito $G$ il sottogruppo di Fitting $F(G)$ è uguale a $\cap\{C_G(H/K):H/K$ è un fattore principale di G$\}$, assicura che $F(G/\Phi G)$ è l'intersezione dei centralizzatori in $G/\Phi G$ dei fattori principali di $G/\Phi G$ il cui ordine è $p$." posso capire perchè applica questo fatto considerando i fattori principali ma perchè "il cui ordine è $p$"?.

Perché intersecare con gli altri centralizzanti non produrrebbe niente dato che sono uguali a $G//\Phi G$.

Provo a risponderti più tardi sul resto, comunque mi sembra che devi solo riorganizzare il materiale per chiarirti le idee.

Va bene, attendo il tuo messaggio per stasera e nel frattempo vedo quello che hai scritto e studio il resto. Grazie ancora, non so proprio come sdebitarmi.