Prodotto di cicli disgiunti

Il mio testo di Algebra, nel dimostrare alcuni teoremi importanti, dà per scontato il seguente fatto:

Il prodotto di cicli non banali a due a due disgiunti in $S_n$ non è un ciclo.

Vi mostro come ho proceduto io per dimostrarlo. Per prima cosa premetto il seguente risultato:

Siano $g_1,...,g_r$ cicli a due a due disgiunti. Allora $g_1...g_r=1$ se e soltanto se $g_i=1$ per ogni $i=1,...,r$.

La condizione è ovviamente sufficiente. Si supponga per assurdo che $g_i!=1$ per un certo $i in {1,...,r}$. Allora esiste un $i_1 in {1,...,n}$ tale che $g_i(i_1)!=i_1$. Allora $g_i$ sposta anche l'elemento $g_i(i_1)$ che è invece fissato da ogni $g_j$ con $j!=i$, essendo $g_1,...,g_r$ disgiunti. Poichè inoltre i cicli $g_1,...,g_r$ sono a due a due permutabili, si ha

$(g_1...g_r)(i_1)=(g_ig_1...g_(i-1)g_(i+1)...g_r)(i_1)=g_i(i_1)!=i_1$

contro l'ipotesi che $g_1...g_r=1$


A questo punto dimostro l'asserto che vi ho mostrato all'inizio.

Siano $g_1,...,g_r$ cicli non banali a due a due disgiunti , con $r>=2$. Allora il prodotto $g_1...g_r$ non è un ciclo.

Si supponga per assurdo che $f=g_1...g_r$ sia un ciclo di lunghezza k, con $k>1$ per l'asserto precedente. Si può quindi porre $f=(i_1...i_k)$. Allora, sempre per l'asserto precedente, deve esistere un $i in {1,...,r}$ tale che $g_i(i_1)!=i_1$. Allora $g_i$ sposta anche l'elemento $g_i(i_1)$, che invece ogni $g_j$ con $j!=i$ fissa. Allora, poichè i cicli $g_1,...,g_s$ sono a due a due permutabili, si ha

$g_i(i_1)=g_i((g_1...g_(i-1)g_(i+1)...g_r)(i_1))=(g_1...g_(i-1)g_(i+1)...g_rg_i)(i_1)=f(i_1)=i_2$

Procedendo in questo modo, si trova

$g_i(i_1)=i_2, g_i(i_2)=i_3,...,g_i(i_(k-1))=i_k,g_i(i_k)=i_1$

cioè $g_i=g_1...g_r=>1=g_1...g_(i-1)g_(i+1)...g_r$, sicchè per l'asserto precedente $g_j=1$ per ogni $j!=i$, assurdo.

Ora mi chiedo, è possibile che il libro sottenda tutto questo ragionamento al punto tale da non osservarlo nemmeno? Oppure vi è un modo più immediato per giungervi?