Esercizio su campo dei quozienti

Detto $L=ZZ_(p)(X)$ il campo dei quozienti di $ZZ_(p)[X]$ e $K = ZZ_(p)(X^p)$ si consideri il polinomio $f = Y^p − X^p inK[Y]$. Mostrare che $f$ è irriducibile in $K[Y]$, ma che ha radici multiple in $L$.
Non mi sono chiare alcune cose di questo esercizio:
1) Intanto quando considero il polinomio $Y^p − X^p$ in $L$ devo considerare $Y$ come elemento di $ZZ_p$? O sennò come dovrei interpretare $Y$ in $L$?
2) Non ho capito che cosa intende con $K = ZZ_(p)(X^p)$, c'è sarebbero i polinomi di $L$ di grado maggiore o uguale di $p$? Il fatto che sia $X^p$ e non $X$ non so cosa vuol significare.
Se qualcuno riesce a chiarirmi questi dubbi così da poter provare a fare questo esercizio, grazie.

Non ho capito che cosa intende con $K = ZZ_(p)(X^p)$, c'è sarebbero i polinomi di $L$ di grado maggiore o uguale di $p$? Il fatto che sia $X^p$ e non $X$ non so cosa vuol significare.
Se qualcuno riesce a chiarirmi questi dubbi così da poter provare a fare questo esercizio, grazie.

Ma no, ma no, per giove: \(\mathbb{Z}_p(X^p)\) è il campo dei quozienti dell'anello \(\mathbb{Z}[X^p]\), che a sua volta è l'anello dei polinomi in un'unica indeterminata, che però ha grado $p$: significa che ora i tuoi polinomi non sono della forma \(\sum a_i X^i\) ma bensì della forma \(\sum a_i X^{ip}=a_0 + a_1 X^p + a_2 X^{2p} + \dots\).

Ho risolto, è che non mi era ben chiaro il testo