Dimostrazione prodotto interi consecutivi

[Phusys84]

Salve,
ho un problema con la seguente dimostrazione:

Mostrare che il prodotto di k numeri interi consecutivi non può essere espresso come la potenza k-esima di un intero.

Mi vien da ragionare per induzione ma sinceramente son bloccato.

Grazie

[Lord K]

Beh, se osservi con $k=1$ la tua frase è palesemente vera! Forse c'è qualche altra condizione...

[nato_pigro]

potrebbe essere che il quadrato di un numero non può mai essere espresso come prodotto di numeri cosecutivi.

[edokill]

beh se interessa io ho dimostrato cm il prodotto di 4 interi consecutivi aumentato di 1 è sempre un quadrato perfetto(quesito d ammissione alla SNS)...

[Lord K]

beh se interessa io ho dimostrato cm il prodotto di 4 interi consecutivi aumentato di 1 è sempre un quadrato perfetto(quesito d ammissione alla SNS)...

Bello quel quesito e mi piacerebbe vedere quale procedimento hai seguito!

[edokill]

dunque ora t espongo il mio procedimento, per quanto so già ke avro problemi poiche nn so usare il LATEX e pertanto scrivero in modo "normale". indico cn x^n la potenza n-esima di x.
1) noto induttivamente k il prodotto di 4 interi positivi consecutivi aumentato di uno è il quadrato del prodotto del minore x il maggiore aumentato di 1 ( x es: 1x2x3x4+1=(1*4+1)^2)
2)ovviamente è una supposizione, non potendo verificare tutti gli infiniti casi; pertanto analizzo tutti i tipi d espressioni letterali ke indichino il prodotto di 4 interi consecutivi aumentati di uno e vedo se corrisponde alla mia congettura.
3) vi sono 4 tipi d espressioni letterali ke associano ad una X il prodotto aumentato di 1 dei suoi 3 consecutivi:
- x(x+1)(x+2)(x+3)+1= (x(x+3)+1)^2 (secondo l ipotesi)
- x(x-1)(x+1)(x+2)+1 = ((x-1)(x+2)+1))^2
- x(x-1)(x-2)(x+1) +1 = ((x-2)(x+1)+1)^2
- x (x-1)(x-2)(x-3)+1 = (x(x-3)+1) ^2
4) ho cioè eguagliato l espressione del prodotto aumentato di uno a quella ke traduce la mia congettura, cioè il prodotto del minore x il maggiore, aumentato di 1, elevato al quadrato
5) sviluppando i calcoli, si ottiene in maniera evidente l identità, pertanto il prodotto è associabile ad un elevamento al quadrato d un trinomio, e quindi il quesito è risolto.
assai + complessa è stata la dimostrazione(parziale) del quesito( smpr x l'SNS):" si dimostri che il prodotto di 4 interi consecutivi non è mai un quadratto perfetto", che a rikiesta posso pubblicare.
inoltre ne ho risolti anke altri sui quali si potrebbero aprire delle discussioni interessanti.

[Jack233]

assai + complessa è stata la dimostrazione(parziale) del quesito( smpr x l'SNS):" si dimostri che il prodotto di 4 interi consecutivi non è mai un quadratto perfetto", che a rikiesta posso pubblicare.

Io credo che tu lo abbia appena dimostrato, in quanto non esistono quadrati perfetti positivi consecutivi...

Comunque un altro modo per dimostrare che il prodotto di quattro numeri consecutivi aumentato di 1 è un quadrato perfetto:

noto che $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2=x(x+3)+2$

Quindi $x(x+1)(x+2)(x+3)=x(x+3)[x(x+3)+2]=[x(x+3)+1]^2-1$ e ho la tesi

[edokill]

io avevo pensato al MOD. di solito si usa nei problemi cn i quadrati interi, poiche un quadrato perfetto mod 4= 0 o 1, rispettivamente 0 se la base è pari, 1 se la base è dispari. pertanto sviluppando l espressione x(x+1)(x+2)(x+3), ottengo x^4+6x^3+11x^2+6x. ora, la x puo assumere un valore pari(esprimibile cm 2n) o dispari (2n+1), sostituisco e divido x 4. il mod è zero in entrambi i casi, pertanto escludo ke l eventuale quadrato perfetto sia di base dispari. per la pari ho ragionato sugli esponenti xo niente di ke. nella tua dimostrazione, $ a cosa corrisponde? pensavo a un coeff letterale ma nn moltiplica ogni fattore...l ultimo passaggio poi nn m è kiaro, alla seconda uguaglianza hai x(x+3)[x(x+3)+2]=[x(x+3)+1]^2-1$.