Connesso?

Ciao,

volevo chiarire una cosa detta dal prof a lezione rispondendo a una domanda di un compagno di corso, ma il concetto non faceva propriamente parte del discorso però non ci ho capito un tubo e volevo decifrare questa cosa.

Si parlava di un gruppo G il quale se ha un sottoinsieme chiuso per moltiplicazione e inverso e contiene in neutro allora è sottogruppo.

Poi si è divagato (su una domanda specifica) e ha parlato di connessione e in particolare connessione per archi, concetti che ho visto a malapena in analisi e ha riportato che $ZZ_3={0,1,2}$ con l'operazione di somma modulare ha tre componenti connese, corrispondendi ai tre punti. E l'unica componente connessa contenente l'elemento neutro è proprio il sottogruppo ${0}$.

Ma il mio dubbio è: come si parla di connessione per archi su un punto e su $ZZ_n$ (domanda 1)? Che cosa vorrebbe dire, come definisco una curva per dare il concetto di connessone per archi? penso intendesse la connessione in senso topologico giusto? che mi sono letto approfondendo online...

Da definizione dato $(X;T)$ con T topologia leggevo che sconnesso se posso scrivere X come (A unito B) come unione disgiunta ($A,B in T$). In caso contrario si dice connesso.
Ho un dubbio su cosa intenda per "caso contrario", io ho inteso che vorrebbe dire che non si può scrivere come unione disgiunta ma non che (domanda 2) non si possa scrivere come A unito B in generale (cioè che non esistano insiemi A e B che uniti diano X), giusto?

Ma il mio dubbio è: come si parla di connessione per archi su un punto e su $ZZ_n$ (domanda 1)? Che cosa vorrebbe dire, come definisco una curva per dare il concetto di connessone per archi? penso intendesse la connessione in senso topologico giusto? che mi sono letto approfondendo online...

La definizione di curva, nel contesto della connessione per archi, è una mappa continua da $[0,1]$ a \(\mathbb Z/n\mathbb Z\). Ovviamente bisogna specificare le topologie: su $[0,1]$ si intende sempre quella euclidea, su \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) in questo caso si intende quella discreta, ovvero quella in cui tutti i sottoinsiemi sono aperti. Prova a dimostrare che ogni funzione continua da $[0,1]$ verso uno spazio con la topologia discreta è costante.

Da definizione dato $(X;T)$ con T topologia leggevo che sconnesso se posso scrivere X come (A unito B) come unione disgiunta ($A,B in T$). In caso contrario si dice connesso.
Ho un dubbio su cosa intenda per "caso contrario", io ho inteso che vorrebbe dire che non si può scrivere come unione disgiunta ma non che (domanda 2) non si possa scrivere come A unito B in generale (cioè che non esistano insiemi A e B che uniti diano X), giusto?

Sì, esatto.

La definizione di curva, nel contesto della connessione per archi, è una mappa continua da [0,1] a Z/nZ. Ovviamente bisogna specificare le topologie: su [0,1] si intende sempre quella euclidea, su Z/nZ in questo caso si intende quella discreta, ovvero quella in cui tutti i sottoinsiemi sono aperti. Prova a dimostrare che ogni funzione continua da [0,1] verso uno spazio con la topologia discreta è costante.

quindi l'idea sostanzialmente è che ho una funzione costante da [0,1] nel punto di $ZZ_n$, e quindi presi due punti in quell'aperto (che è un insieme di un solo punto, quindi i due punti coincidono), quindi ho un arco che li collega.

Provo a ragionare sulla dimostrazione, ma non garantisco anche perché sto studiando algebra 1 e non so manco cosa sia la topologia (me la sono letta su wikipedia) .

(domanda 2) non si possa scrivere come A unito B in generale (cioè che non esistano insiemi A e B che uniti diano X), giusto?


Sì, esatto.

in realtà qua ho un dubbio: dalla definizione io ho che è connesso se:
(X=A unito B) & (A intersecato B $={}$) <=> sconnesso

quindi il contrario è:

(X$!=$A unito B) OR (A intersecato B $!={}$) <=> connesso

quindi non si può scrivere come unione disgiunta oppure l'intersezione è non nulla. Insomma se l'insieme X non si può scrivere in generale come A unito B allora è connesso. Non era quindi giusta la mia idea iniziale.

Ora forse è giusto che dici? @hydro. Grazie

Se è come dici, penso dovresti semplicemente aspettare di fare un po' di topologia, questo discorso (e l'argomento di hydro) poi ti sembrerà del tutto chiaro, dato che la definizione di connessione, connessione per archi, e teoremi di questo tipo ("su un gruppo finito, l'unica topologia che rende continua la moltiplicazione e l'inversione è quella discreta") sono parte di ogni programma che si rispetti.

Ti ringrazio, sì ho visto i programmi e dovrebbe esserci tutto. Però ero curioso dato che c'era stata questa domanda e ho sbirciato in avanti.

"su un gruppo finito, l'unica topologia che rende continua la moltiplicazione e l'inversione è quella discreta"

Insieme a quella che ha come aperti solo il vuoto e tutto il gruppo.

@tachiflupec: $X$ è connesso se e solo se non esistono $A,B\subseteq X$ aperti non vuoti disgiunti tali che $A\cup B=X$. $X$ è sconnesso se e solo se esistono $A,B$ aperti non vuoti disgiunti tali che $A\cup B=X$. Semplice, no?

@hydro

@tachiflupec: $X$ è connesso se e solo se non esistono $A,B\subseteq X$ aperti non vuoti disgiunti tali che $A\cup B=X$. $X$ è sconnesso se e solo se esistono $A,B$ aperti non vuoti disgiunti tali che $A\cup B=X$. Semplice, no?

ti ringrazio.

Ma per capire una cosa potrei farti un'utlimissima domanda? Perché anche la mia definizione (o meglio come l'avevo interpretata) mi sembra funzionare, io dico:

- sconnesso <=> esistono $A$ e $B$ tali che ($X=A ∪ B$) & ($A ∩ B =Ø$)

di contro

- connesso <=> non esistono $A$ e $B$ tali che ($X=A ∪ B$) & ($A ∩ B =Ø$) <=>
<=> $forall$ $A$ e $B$ si ha che ($X!=A ∪ B$) OR ($A ∩ B !=Ø$)

Nel senso, è solo una negazione, dovrebbe funzionare lo stesso come definizione. Condividi o no?
Perchè se fosse non vedo l'errore e vorrei correggerlo.

Ultima modifica di tachiflupec il 02/05/2024, 11:22, modificato 1 volta in totale.

Certamente non è in quel modo che si nega la proprietà di connessione.. (adesso hai corretto l'errore più grosso, ma resta comunque un po' sbagliato)

Ultima modifica di megas_archon il 02/05/2024, 11:22, modificato 1 volta in totale.

Certamente non è in quel modo che si nega la proprietà di connessione.. (adesso hai corretto l'errore più grosso, ma resta comunque un po' sbagliato)

No aspetta perché ho fatto un copia-incolla errato tra sopra e sotto, e avevo lasciato un and, potresti per favore ridarci un occhio? . Ora mi sembra ok.
Che mi interessava molto la questione!

D'altra parte riragionando sono convinto della correttezza perché riflettendoci è la stessa cosa scritta da hydro:

$A\cup B=X$. $X$ è sconnesso se e solo se esistono $A,B$, aperti non vuoti disgiunti tali che $A\cup B=X$

che dice:

sconnesso <=> $∃ A,B$, $(A∩B=Ø)$ : $A\cup B=X$

Ora se $phi(x)$ e $psi(x)$ sono due proprietà di x la frase con esistenza si può scrivere in due modi:
$∃x,phi(x) : psi(x)$ o in modo espanso $∃x: phi(x) ∧ psi(x)$. Quella di hydro è la prima e la mia è la seconda:

sconnesso <=> $∃ A, B : (A∩B=Ø) ∧ (X=A∪B)$

dopo aver posto $phi(x):=(A∩B=Ø)$ e $psi(x):=(X=A∪B)$

Nel mio caso c'è "solo" l'errore che devo specificare in più "aperti non vuoti". Però almeno a logica, dove prima pensavo fosse l'errore, mi sembra che ci siamo. Spero di non aver detto cazzatissime.