Problema da risolvere usando gli insiemi

Ester ha 65 tazze: 35 con manico, 37 di ceramica e 50 viola (tra queste
ultime, quelle di ceramica sono la metà). Tra quelle di ceramica e con
manico, le tazze non viola sono 11. Ester ha alcune tazze con manico, di
ceramica e viola. Vi è infine una combinazione teorica delle tre
caratteristiche, con solo due di esse presenti, che in realtà è
rappresentata da un numero di tazze pari a zero. Ogni tazza ha almeno
una delle tre caratteristiche.
Quante sono le tazze che hanno una sola delle tre caratteristiche (es.:
viola, ma non di ceramica e senza manico, ecc.)?

Svolgendo l'insieme, mi sono bloccata nell'ultima (determinante) fase. Vi descrivo gli insiemi che ho disegnato e ve ne allego una foto.





Insieme manico
24 hanno solamente il manico
11 sono di ceramica e hanno il manico
Intersezione con insieme viola vuota

Insieme ceramica
1 è solamente in ceramica
11 sono di ceramica e hanno il manico
25 sono di ceramica e viola

Insieme viola
25 sono solamente viola
25 sono di ceramica e viola
Intersezione con insieme manico vuota

A questo punto faccio il computo delle tazze presenti negli insiemi, che sono 86, e le sottraggo a 65, ottenendo 21. 21 dovrebbero essere le tazze che possiedono tutte e tre le caratteristiche. Vorrei inserirle nell'intersezione ma non so come modificare gli altri parametri per far tornare i calcoli. Potreste aiutarmi?

Per risolvere questo problema, devi guardarti bene il principio di inclusione-esclusione:
https://it.wikipedia.org/wiki/Principio ... esclusione

Nel caso di 3 insiemi:
$${\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|}$$

Adesso vediamo tutte le informazioni che abbiamo.
Solo una precisazione sulla notazione: per scrivere meno simboli invece di scrivere $|x\cap x|$ scrivo $|xy|$

Ester ha 65 tazze:

$|M \cup C \cup V| = 65$
ovvero
$|M|+|C|+|V|-|MC|-|CV|-|MV|+|MCV| = 65$

35 con manico, 37 di ceramica e 50 viola

$|M|=35$
$|C|=37$
$|V|= 50$

(tra queste ultime, quelle di ceramica sono la metà).

$|CV| = 25$

Tra quelle di ceramica e con
manico, le tazze non viola sono 11.

$|MC|-|MCV| = 11$

Ester ha alcune tazze con manico, di
ceramica e viola.

$|MCV|>0$

Vi è infine una combinazione teorica delle tre
caratteristiche, con solo due di esse presenti, che in realtà è
rappresentata da un numero di tazze pari a zero.

$|MV|-|MCV| = 0$
oppure
$|VC|-|MCV| = 0$
Non sappiamo quale delle due sia vera, e questo sara' un problema nella soluzione.

Infatti avremmo un sistema con 7 incognite e 7 equazioni, che sarebbe risolvibile, se non fosse che l'ultima equazione non e' ben determinata, non si sa quale delle due sia vera.

In ogni casi, facendo delle sostituzioni si puo' dire che
$|MV| = 21$

Ora il problema chiede:

Quante sono le tazze che hanno una sola delle tre caratteristiche (es.:
viola, ma non di ceramica e senza manico, ecc.)?

ovvero

$|M| - |MC|- |MV| + |MCV| = ?$

$|C| - |MC|- |CV| + |MCV| = ?$

$|V| - |MV|- |CV| + |MCV| = ?$

La prima e la seconda si riescono a calcolare

$|M| - |MC|- |MV| + |MCV| = 3$

$|C| - |MC|- |CV| + |MCV| = 1$

mentre l'ultima no, sempre perche' non si sa quale sia vera di
$|MV|-|MCV| = 0$
$|VC|-|MCV| = 0$

Per cui l'ultima domanda ha due possibili soluzioni:
$|V| - |MV|- |CV| + |MCV| = 25$
$|V| - |MV|- |CV| + |MCV| = 29$

edit:
per avere $|MCV| \ge 0$ deve essere
$|MV|-|MCV| = 0$

$|V| - |MV|- |CV| + |MCV| = 25$

Ultima modifica di Quinzio il 08/05/2024, 22:04, modificato 3 volte in totale.

Io giungo a $29$ tazze con una caratteristica sola ma non ci giurerei, l'ho svolto un po' di fretta ...
Dai un nome a tutte e sette le "zone" e scrivi le relative equazioni.
Ricorda che non è necessario determinare quante tazze sono contenute in ogni zona ma devi trovare la somma di tre zone ben precise

Non ho tempo ne voglia di scrivere tutto il procedimento ma sono abbastanza sicuro che la soluzione sia unica e sia $29$

Parti da questa figura e prosegui

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Cordialmente, Alex

Grazie ad entrambi per l'impegno profuso. Guarderò domattina a mente fresca. Vi scriverò qualora qualcosa non mi tornasse

Facendo riferimento alla figura si ha:

Nella prima equazione sostituisci $F, E+G, C+D$ con i relativi valori numerici ed ottieni $A+B=4$
Nella terza equazione sostituisci $F, E+G$ con i relativi valori numerici ed ottieni $B=1$ e quindi $A=3$
Nella seconda equazione sostituisci $F, A$ con i relativi valori numerici ed ottieni $E+D=21$; dato che $E+G=25$ e che uno fra $D$ e $G$ deve essere nullo, ne consegue che $D=0$
Da cui $C=25$ e la conclusione $A+B+C=29$

Moderatore: Martino

Spostato in Secondaria di secondo grado (questo e anche gli altri tuoi interventi). La sezione di Algebra è universitaria, per favore continua qui, grazie.