Algebra - Ideali massimali

Ciao a tutti.

Questo è un esercizio sugli ideali massimali di cui so la soluzione ma non l'ho capita.

Testo:

"Si dica per quali numeri primi positivi p, l'ideale $(x^4-px^3+3x-p)$ è un ideale massimale di $QQ[x]$ "

Il prof. mi ha detto che devo trovare le radici del polinomio nel caso che si possa fattorizzare come termini di 1° e 2° grado.

Nel caso di una scomposizione in fattori di 1°, le uniche radici possibili sono ${+1, -1, +p, -p}$. Sostituendo questi valori nell'equazione, ottengo 4 valori di p.

Quando lo scompongo in polinomi di 2°, cioè $(x^2+ax+b)*(x^2+cx+d)$, ottengo un sistema. Se le soluzioni appartengono a $ZZ$, allora...qualcuno me lo spiega?. Se le soluzioni non appartengono a $ZZ$, allora devo andare a vedere i valori ottenuti con le scomposizioni in polinomi di 1°, per capire che..?

Grazie

Mi pare di ricordare che un ideale di $\QQ[x]$ è massimale se e solo se è primo; ciò si traduce nel fatto che debba essere generato da un polinomio irriducibile. Stai quindi solo escludendo i valori di $p$ per i quali quel polinomio si fattorizza.

Io ho 2 proposizioni che mi dicono che 1)$a$ è irriducibile $hArr$ $(a)$ è massimale e 2)in un anello commutativo, se $I$ ideale è massimale $rArr$ è primo.

A questo punto mi sorge un dubbio. Se io trovo delle radici del polinomio, vuol dire che questo è riducibile. Avendo trovato delle radici nella scomposizione in fattori di 1°, come trovo i valori per cui il polinomio è irriducibile?

Un polinomio di 4 grado riducibile o ha almeno una radice, o si fattorizza nel prodotto di due polinomi irriducibili di 2 grado. Dunque devi scartare tutti i polinomi di 4 grado della forma data che hanno almeno una radice e inoltre devi imporre che non ci possa essere una fattorizzazione in due polinomi di 2 grado irriducibili.

Penso d'aver capito...

Grazie