Una categoria arricchita in gruppi ha biprodotti?

Una categoria \(\mathcal C\) tale per cui ogni \(\hom(A,B)\) è un gruppo, e la mappa di composizione \(c_{ABC} : \hom(A,B)\times \hom(B,C) \to \hom(A,C)\) è un omomorfismo di gruppi si dice una \(\bf Grp\)-categoria.

Assumiamo che una tale \(\mathcal C\) abbia tutti i limiti e i colimiti finiti.

E' vero o no che una tale \(\mathcal C\) deve avere un oggetto zero (un oggetto che è sia iniziale che terminale) e biprodotti (ovvero è tale per cui \(X\times Y\cong X\coprod Y\))?

Puoi darci un esempio di una $Grp$-categoria?
E di una $Grp$-categoria che ha tutti i limiti e i colimiti finiti?

In realtà no; il punto era proprio che lo stavo cercando.