chiarimenti in merito a relazioni ed applicazioni

Necessito di alcuni chiarimenti, indubbiamente stupidi, ma che mi servono per inquadrare alcuni concetti.
Siano $\mathbb{A}$, $\mathbb{B}$ due insiemi non vuoti e sia $f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ una funzione.
Mi chiedo, potendo stabilire una stessa relazione d'ordine $R$ in entrambe gli insiemi, posso sempre verificare l'iniettività di $f$ provando che $\forall a,a' \in \mathbb{A}, aRa' \Rightarrow f(a)Rf(a')$ ?
Ad esempio:
$\mathbb{A}={2,4,8,16}$
$f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{N}, f(a)=2a+a$
Stabilisco nell'insieme dei naturali $\mathbb{N}$ la relazione di divisibilità, $aRb \Leftrightarrow a|b$.
$R$ è una relazione d'ordine:
$\forall a \in \mathbb{N}, a|a$;
$\forall a,b \in \mathbb{N}, a|b \wedge b|a \Rightarrow a=b$;
$\forall a,b,c \in \mathbb{N}, a|b \wedge b|c \Rightarrow a|c$;
La stessa $R$ è una relazione d'ordine in $\mathbb{A} \subset \mathbb{N}$
dunque, posso verificare l'iniettività provando che:
$\forall a, a' \in mathbb{A}, a|a' \Rightarrow f(a)|f(a')$ ?

Il punto è capire se una volta strutturato un dato insieme $\mathbb{A}$ mediante una relazione d'ordine $R$ questa strutturazione possa permettermi di verificare se un'applicazione $f:\mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ è ad esempio iniettiva, in maniera "similare" rispetto a quando è possibile verificare l'iniettività di una funzione mostrando che è strettamente monotona.
Ancora, rimanendo su questo caso generico, due elementi del dominio sono sempre confrontabili mediante una relazione d'ordine o sono confrontabili solo laddove stabiliamo una funzione iniettiva sull'immagine in cui vale la stessa relazione d'ordine ?

Per verificare se una funzione è iniettiva deve considerare la seguente relazione di equivalenza: detta f: A --> B una funzione, dico che due elementi a e b appartenenti ad A sono nella relazione R se, e solo se, f(a)=f(b). Se e solo f è iniettiva R è una relazione identica.

Una funzione costante è un controesempio. La stretta monotonia di una funzione implica l'iniettività perché la relazione "minore stretto" implica che i due numeri siano diversi.

Una funzione costante è un controesempio. La stretta monotonia di una funzione implica l'iniettività perché la relazione "minore stretto" implica che i due numeri siano diversi.

La domanda che mi ponevo era appunto se, stabilita una qualsiasi relazione d'ordine che mi permetta di confrontare gli elementi del dominio e dell'immagine della mia funzione (come del resto siamo inizialmente "abituati" a fare con la relazione minore stretto) fosse possibile utilizzare quest'ultima per mostrare o meno l'iniettività... come fatto nell'esempio che ho riportato. grazie ad entrambi.

1. Di solito il simbolo \( \mapsto \) si usa per indicare il modo in cui gli elementi del dominio di una certa applicazione sono associati a quelli del codominio della medesima applicazione e non per raccordare il dominio ed il codominio stessi. E.g.: data l'applicazione \( f \) di dominio \( \mathbb{N} \) e codominio \( \mathbb{N} \) che manda \( x \) in \( 2x \), di solito si scrive \( f \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) t.c. \( x \mapsto 2x \).

2. Qui

Il punto è capire se una volta strutturato un dato insieme \( \mathbb{A} \) mediante... in maniera "similare" rispetto a quando è possibile verificare l'iniettività di una funzione mostrando che è strettamente monotona.

in realtà la questione è secondo me mal posta: ho infatti l'impressione che tu creda che l'ordinamento tra numeri ed una generica relazione d'ordine siano due concetti distinti e separati e che il concetto di monotònia riguardi solo l'usuale ordinamento tra numeri, da cui la necessità di porre la domanda in questi termini, laddove, in verità, il concetto di monotònia di un'applicazione non fa riferimento solo all'ordinamento usuale tra numeri ma fa riferimento ad una qualunque relazione d'ordine.

Segnatamente dati due insiemi \( S \) e \( T \) non vuoti, siano \( \preceq \) una relazione d'ordine su \( S \) e \( \preceq ' \) una relazione d'ordine su \( T \) e siano \( \prec \) e \( \prec ' \) le corrispondenti relazioni d'ordine stretto; un'applicazione \( f \colon S \to T \) si dice:
• crescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{1}) \preceq ' f(x_{2}) \);
• strettamente crescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{1}) \prec ' f(x_{2}) \);
• decrescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{2}) \preceq ' f(x_{1}) \);
• strettamente decrescente (rispetto agli ordinamenti \( \prec \) e \( \prec ' \)) se \( \forall x_{1}, x_{2} \in S, x_{1} \prec x_{2} \implies f(x_{2}) \preceq ' f(x_{1}) \);
Quando l'applicazione è crescente/decrescente si dice che essa è monotòna, quando è strettamente crescente/decrescente si dice che essa è strettamente monotòna.
Come vedi non serve né che la relazione d'ordine sia la medesima su dominio e codominio né che la relazione d'ordine sia l'usuale ordinamento tra numeri.

Per le applicazioni strettamente monotòne vale il seguente risultato: dati i due insiemi ordinati \( S \) e \( T \) di cui sopra con \( \preceq \) ordinamento totale, se \( f \colon S \to T \) è strettamente monotòna, allora essa è anche iniettiva. Se \( \preceq \) non è totale, allora non è possibile dedurre l'iniettività dalla stretta monotònia: nel tuo esempio ti è andata bene perché il tuo insieme \( A \) è totalmente ordinato dalla relazione di divisibilità. Se però consideri per esempio l'insieme \( A ' = \{ 2, 3, 4, 8, 16 \} \) accade che la tua \( f \) prolungata su \( A ' \) con l'assegnazione \( 3 \mapsto 6 \) è strettamente monotòna pur non essendo iniettiva: infatti la divisibilità non ti permette di confrontare \( 3 \) con alcuno degli altri elementi di \( A ' \), sicché qualunque sia l'elemento \( x \in A ' \setminus \{ 3 \} \), indicato con \( \preceq \) l'ordinamento indotto dalla divisibilità, è falsa sia \( 3 \preceq x \) sia \( x \preceq 3 \), sicché è vacuamente vera (per falsità dell'antecedente) l'implicazione che compare nella definizione della stretta monotònia.

Rileggerò più volte quanto hai scritto ma ho l'impressione che tu abbia risolto ogni mio dubbio.

Ps. L'insieme l'ho costruito apposta così affinché l'ordinamento fosse totale !