Esercizio sui gruppi

Salve,oggi dopo aver ripreso la teoria sotto mano,ho continuato a fare un alcuni esercizi sulla teoria dei gruppi.Il problema è che uno di questi esercizi non so se lo svolto correttamente,quindi,se non vi reca disturbo,ci terrei ad un vostro parere.
L'esercizio è questo:
"Let $G$ a group of order 4,$G={e,a,b,ab}$,(dove $e$ è l'elemento neutro), \( a^2=b^2=e \) ,$ab=ba$.Determine the set of all
automorphism of $G$."
Per risolvere il problema ho fatto questo ragionamento:dato che $a^2=b^2$,allora $|a|=|b|$,(anche se io ho supposto che $a=-b$).Usando le mie supposizioni e le informazioni date,riscrivo $G$ come,$G={|a|,|a^2|}$,che se non sbaglio è un gruppo ciclico con generatore $|a|$.Quindi definisco un automorfismo $T:|x| ->|x|$,e l'insieme di tutti gli automorfismi che ho chiamato $A$,come $A={T}$.
La cosa che mi ha fatto dubitare è che $A$ è composto solo da $T$,che non mi sembra una risposta esatta.

Ciao,

Scusa ma se G ha ordine $4$ perché lo poni uguale a ${|a|, |a|^2}$? E poi cosa intendi con |a|? Il modulo? E che vuol dire il modulo di un elemento in un gruppo?

Osserva che il gruppo è generato da $a, b$ e chiediti cos'è un automorfismo di gruppi e da cosa è determinato.

grazie per la risposta.Con $|a|$,intendo il valore assoluto,ma volendo riscrivere il gruppo sarebbe $G={a,-a,a^2,-a^2}$,che è di ordine 4.Per quanto riguarda gli automorfismi,se non sbaglio,sono degli isomorfismi che vanno da $G$ in se stesso.Scusa,che cosa intendi da cosa è determinato?

Ciao,

grazie per la risposta.Con $|a|$,intendo il valore assoluto,ma volendo riscrivere il gruppo sarebbe $G={a,-a,a^2,-a^2}$,che è di ordine 4.

Sì ma il valore assoluto in un gruppo in generale NON ha senso, suppongo tu ti stia rifancendo al valore assoluto di un numero reale, che è definito così: $|x| = max{x, -x}$ ma capisci che per fare un massimo ci vuole un ordinamento e in un gruppo tu hai solo un insieme non vuoto $G$ e un'operazione definita su esso con delle determinate proprietà.
E comunque quel gruppo NON è cicliclo perché $a != b$, poi il simbolo $-$ in questo contesto cosa vuol dire? Devi riflettere su quello che scrivi, devi chiederti costantemente se quello che scrivi ha senso oppure no nel contesto in cui stai lavorando.

Per quanto riguarda gli automorfismi,se non sbaglio,sono degli isomorfismi che vanno da $G$ in se stesso.Scusa,che cosa intendi da cosa è determinato?

Corretto.
Consideriamo un gruppo $G$ generato da $a_1, ..., a_k \in G$ e $\varphi: G \to G$ automorfismo. Poiché $G$ è generato da ${a_1, ..., a_k}$ ogni elemento $g \in G$ si scrive come prodotto finito degli $a_1, ... , a_k$ e dei loro inversi, ne segue che se conosci $\varphi(a_1), ..., \varphi(a_k)$ allora conosci il valore di $\varphi$ su un qualsiasi elemento $g \in G$.

Facciamo un esempio: sia $G$ un gruppo ciclico di ordine quattro, diciamo $G = {e, a, a^2, a^3}$(dove $a^2 = a*a$, etc. e $*$ è l'operazione del gruppo), poiché $G$ è ciclico allora esiste almeno un $g \in G$ tale che $G = <g>$, i candidati ad essere generatori di $G$ sono $a$ e $a^3$(verificare che sono entrambi generatori), per semplicità scegliamo $a$ come generatore, cioè $G = <a>$. Consideriamo adesso un automorfismo $\varphi: G \to G$, per quanto detto sopra basta capire chi è $\varphi(a)$ per conoscere l'automorfismo. Bene, la domanda da porsi è: $\varphi(a)$ può essere un qualsiasi elemento di $G$? La risposta è no: un generatore può essere mandato solo in un altro generatore dello stesso ordine poiché gli automorfismi mantengono l'ordine degli elementi, quindi non posso mandare $a$ in $a^2$ ad esempio, e devono essere surgettivi(quindi non posso permettermi di non scegliere un generatore). Quindi le scelte sono $a$ e $a^3$, per cui gli automorfismi di $G$ sono: $id: G \to G$ che manda $a$ in $a$ e $\varphi : G \to G$ che manda $a$ in $a^3$, osserva che l'insieme ${id, \varphi}$ dotato della composizione fra funzioni è un gruppo.

Torniamo al problema: una coppia di generatori di $G$ sono $a$ e $b$, detto $\varphi: G \to G$, quali scelte ho per $\varphi(a)$ e $\varphi(b)$?

In generale trovare gli automorfismi di un gruppo $G$(abeliano o non abeliano) non è un problema banale che si risolve facilmente come sopra, perché bisogna fare alcune considerazioni in più che per adesso ti risparmio.

Ciao!

Grazie nuovamente per la risposta,ammetto che non immaginavo fosse tanto complicato risolvere questo problema.Da quello che mi sembra di capire, $\phi(a)$ e $\phi(b)$,devono essere dello stesso ordine di $a$ e di $b$,giusto?
Quindi penso,che $\phi(a)=b$ e $\phi(b)=a$,dato che $ab$ dovrebbe avere un ordine maggiore sia di $a$,che di $b$ e invece $e$ dovrebbe essere di ordine $0$,giusto?

Grazie nuovamente per la risposta,ammetto che non immaginavo fosse tanto complicato risolvere questo problema.Da quello che mi sembra di capire, $\phi(a)$ e $\phi(b)$,devono essere dello stesso ordine di $a$ e di $b$,giusto?
Quindi penso,che $\phi(a)=b$ e $\phi(b)=a$,dato che $ab$ dovrebbe avere un ordine maggiore sia di $a$,che di $b$ e invece $e$ dovrebbe essere di ordine $0$,giusto?

E perché $ab$ ha ordine maggiore? Ne sei sicuro? Su, dimostra che ha ordine maggiore o che ha ordine uguale a quello di $a$ o $b$(già che ci siamo, qual è l'ordine di $a$? E quello di $b$?)

scusa la mia ignoranza,ma l'ordine non equivale al" grado del monomio"(fattasi eccezione per $e$ che è l'elemento neutro)?

scusa la mia ignoranza,ma l'ordine non equivale al" grado del monomio"?

No!
Siano $G$ un gruppo e $g \in G$: l'ordine di $g$, se esiste, è $o(g) = min{ n \in \mathbb{N} | g^n = e}$ cioè è il più piccolo intero positivo $n$ per cui $g^n = e$; se $g^n != e$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ allora si dice che $g$ ha ordine infinito.
Per esempio gruppo dell'esercizio $a$ ha ordine $2$ invece $1$ in $(\mathbb{Z}, +)$ ha ordine infinito.

ah,grazie,quindi $a$ e $b$ sono di ordine $2$,come $ab$,in quanto $a^2b^2=e^2=e$,giusto?

ah,grazie,quindi $a$ e $b$ sono di ordine $2$,come $ab$,in quanto $a^2b^2=e^2=e$,giusto?

Giusto, quindi quali sono questi automorfismi?