caratteristica di un campo

Ho il seguente esercizio:
"Sia $f: K ->L$ un omomorfismo di campi, dimostrare che $car(K)=car(L)$"
Io pensato di risolverlo in questo modo ma non so se e' corretto.
Se io considero l'omomorfismo $g:ZZ ->K$ e considero il suo ker e ho due possibilita':
$ker(g)={e}$ quindi $car(K)=0$
$ker(g)=p$ quindi $car(K)=p$
a questo punto considero la concatenazione di omomorfismi $ZZ -> K -> L$
Nel primo caso, ovvero $ker(g)={e}$, ho che il neutro in $ZZ$ va nel neutro in $K$ che va nel neutro in $L$ perche' un omomorfismo di campi e' sempre iniettivo. Percio' considerando $ZZ -> L$ ho che il $ker={e}$ quindi $car(K)=0$
Nel secondo caso ho che p elementi in $ZZ$ vanno nel neutro in $K$ che va nel neutro in $L$. Considerando $ZZ -> L$ ho che il $ker=p$ quindi $car(K)=p$
E' corretto il mio ragionamento in ogni sua parte?

E' un po' confuso nella notazione, ma si capisce che hai capito. Più in generale, se esiste un morfismo di anelli $R\to S$ la caratteristica del dominio divide quella del codominio; in particolare se queste due caratteristiche sono entrambe prime (tipo quando gli anelli sono domini, o a fortiori quando sono campi) allora sono uguali.

Ultima modifica di killing_buddha il 20/01/2018, 18:53, modificato 1 volta in totale.

Nel secondo caso ho che p elementi in $ZZ$ vanno nel neutro in $K$ che va nel neutro in $L$. Considerando $ZZ -> L$ ho che il $ker=p$ quindi $car(K)=p$

Forse ti sei confusa nello scrivere o forse mi sto confondendo io, ma non e' vero che hai $p$ elementi che vanno in $K$, hai che l'ideale $pZZ$ di $ZZ$ va in $K$. Poi mi sembra filare tutto il resto.

Nel secondo caso ho che p elementi in $ZZ$ vanno nel neutro in $K$ che va nel neutro in $L$. Considerando $ZZ -> L$ ho che il $ker=p$ quindi $car(K)=p$

Forse ti sei confusa nello scrivere o forse mi sto confondendo io, ma non e' vero che hai $p$ elementi che vanno in $K$, hai che l'ideale $pZZ$ di $ZZ$ va in $K$. Poi mi sembra filare tutto il resto.

Sisi hai ragione tu, non mi sono espressa bene

Più in generale, se esiste un morfismo di anelli $R\to S$ la caratteristica del dominio divide quella del codominio

Questa proposizione pero' potrei usarla solo quando studio il caso in cui la caratteristica e' un primo, o anche quando e' zero? Perche' dire che zero divide la caratteristica del codominio non mi suona molto corretto

Se 0 divide $s$, $s=k0=0$, sicché sia $R$ che $S$ hanno caratteristica zero.

E' il contrario (che la caratteristica $s$ del codominio $S$ divide $r$, quella del dominio $R$, come c'è scritto su wikipedia) a generare problemi, perché assumendo questa cosa si ottiene che $r= ks$; se ora $r=0$, $s$ può essere qualsiasi scegliendo $k=0$).

Qualcuno dovrebbe correggere wikipedia.

Okok ora e' chiaro allora

killing_buddha, è la caratteristica del codominio a dividere quella del dominio. Per esempio prendi $ZZ to ZZ//nZZ$, quindi $n$ divide $0$ che è vero perché $0 = 0*n$ mentre non è vero che $0$ divide $n$ se $n ne 0$.