Omomorfismo da Q/Z a Q/Z

Ho un dubbio:
Show that the formula $φ_n(x + Z) = nx + Z $ defines a surjective homomorphism
$φ_n : Q/Z → Q/Z$.
$φ_n$ is a homomorphism since
$φ_n(a + Z) + φ_n(b + Z)) = (na + Z) + (na + Z) = (na + nb) + Z = φ_n((a + b) + Z)$. Fin qui tutto chiaro!

Since every element $a + Z ∈ Q/Z $ can be written $ n* a/n = phi_n(a/n)$, $ phi_n $
é perció un omomorfismo suriettivo.
Questo perché se prendo, per esempio, $phi_n(a/n)=phi_n(b/n)$ hanno la stessa immagine in $Q/Z$
É esatto? Grazie.

Credo voglia semplicemente mostrare che dato un qualsiasi valore \(a + \mathbb Z \in \mathbb Q/ \mathbb Z\) esiste un valore \(b + \mathbb Z \in \mathbb Q/ \mathbb Z \) per cui
\[\phi_n(b + \mathbb Z) = a + \mathbb Z\]
Siccome \(a = n\,(a/n)\) allora possiamo prendere \(b = a/n\).

Grazie per la risposta...mi volevo rendere conto più praticamente....non so se quello che dico é giusto:
In $Q/Z$ l'ordine di$ 2/3 + Z= 3$ perché $3*(2/3)=2$ e quindi $3*(2/3) + Z=0 + Z = Z$
Stessa cosa se io considero per esempio $1/3$
Quindi otteniamo la stessa immagine.
Grazie di nuovo

Sempre gentilmente, qualcuno mi puó dare una mano? Sará una cosa semplice, ma ho qualche dubbio su come far vedere
l' omomorfismo suriettivo da $Q / Z$ a $Q / Z$ Mi basta un esempio. Grazie

Ti stai complicando la vita. Un omomorfismo suriettivo \(f\;\colon\;\mathbb Q/\mathbb Z \to \mathbb Q/\mathbb Z\) è semplicemente un omomorfismo per cui, preso un qualsiasi elemento \(q \in \mathbb Q/\mathbb Z\) esiste almeno un elemento \(p\) per cui \(f(p) = q\). La soluzione proposta e la mia precedente descrizione sono semplici applicazioni della definizione. Non so cosa stai cercando di dimostrare con la tua osservazione invece.

Grazie per l'aiuto, penso di aver capito cos'é un omomorfismo suriettivo applicando la
definizione, ma io vorrei vedere, proprio perché non si tratta di un omomorfismo biettivo,
un esempio: ci saranno pure degli elementi $ in:Q/Z $ che avranno la stessa immagine in $ :Q/Z $?
Proprio perché é suriettivo.

Essere suriettivo non nega la possibilità che l'omomorfismo sia biettivo. In effetti ogni morfismo biettivo è anche suriettivo. La suriettività non dice nulla sul numero di valori che hanno la stessa immagine, solo che ce n'è almeno uno per ogni valore del codominio. Ti stai confondendo con l'iniettività?

se il gruppo è $G = (Z, +) $una funzione da $G→G t.c. x→2x$ è un omomorfismo iniettivo, ma non è suriettivo. Qui si capisce molto bene.

Nel nostro caso l'omomorfismo é definito da $phi(x + Z) = nx + Z$.
Adesso se io pongo, come rappresentante, di $ (x + Z) in G/Z = q=a/n + Z$ allora $ phi (a/n + Z)= ( n* (a/n) +Z) $
Quindi come hai detto tu, per qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$per cui $f(p)=q$.Da qui la
suriettivitá.
Arrivati qui, questo omomorfismo puó essere anche iniettivo?

Sia \(\phi\) un qualsiasi omomorfismo \(\phi\;\colon\;A \to B.\) Se due elementi \(a_1, a_2 \in A\) hanno la stessa immagine \(b\) allora \(0 = \phi\,a_1 - \phi\,a_2 = \phi\,(a_1 - a_2)\) la loro differenza appartiene al nucleo dell'omomorfismo. Studiare l'iniettività di un omomorfismo è quindi equivalente a dimostrare che il nucleo dell'omomorfismo contiene solo lo zero. In questo caso è evidente che non è così. In particolare abbiamo che \(1/n\) è sempre un elemento non nullo del nucleo. L'omomorfismo non è quindi iniettivo ma solo suriettivo.

Premesso che é un omomorfismo suriettivo e poi tu mi hai fatto anche
vedere che non é iniettivo, volevo chiederti un'ultima cosa:
se io prendo un qualsiasi elemento $q∈Q/Z$ esiste almeno un elemento $p$per cui $f(p)=q$
Sulla base di questo ho notato, per esempio, che per $a/n = 1/5$ il
$phi(1/5 + Z)$ per $n =6$ é uguale $6/5 + Z$ (infatti $ 1/5$ si puó scrivere come $(6*((1/5))/6)$, ma questo accade anche altre volte:
$phi(2/5 + Z)$ per $n =3$ é uguale $6/5 + Z$
$phi(3/5 + Z)$ per $n =2$ é uguale $6/5 + Z$
É corretto questo?
So che questo non serve per trovare la formula che porta
a dimostrare la suriettivitá, ma é una mia curiositá.
Grazie