Esercizio sull'omologia simpliciale

Salve a tutti. Sto studiando l'omologia simpliciale ed è stato fatto come esempio l'esercizio sul calcolo dei gruppi di omologia di un triangolo pieno e di un triangolo vuoto; sebbene capisca il senso dei risultati, ho dei problemi a capire il procedimento per arrivarci, spero che parlandone qualcuno riesca a chiarirmi le idee.

Il primo problema che ho trovato è nella definizione delle $l$-catene. Dato un simplesso $K$, definisco il gruppo $C_l(K)$ delle $l$-catene di $K$ con coefficienti interi come l'insieme delle applicazioni $c_l : S_l(K) \rightarrow \mathbb{Z}$, dove $S_l(K)$ è l'insieme degli $l$-simplessi orientati di $K$, tali che $c_l(-\sigma^l)=-c_l(+\sigma^l)$, per ogni $\sigma^l \in S_l(K)$.
Il gruppo $C_l(K)$ è un gruppo abeliano con l'usuale somma puntuale di applicazione i cui elementi si possono esprimere nella forma $c_l = \sum_{i=1}^n \lambda^i \sigma_{i}^l$, cioè una catena è una combinazione lineare a coefficienti interi di $n$ simplessi orientati della stessa dimensione di $K$, giusto? Ma questo come si collega con il fatto che un elemento di questo gruppo è un'applicazione definita come sopra?

Al di là di questo, tramite la mappa bordo $\partial : C_{l+1}(K) \rightarrow C_l(K)$, che è l'omeomorfismo di gruppo, definisco i gruppi $Z_l(K)=\{c\in C_l(K): \partial c = 0\}$ degli $l$-cicli e $B_l(K)=\{\partial c : c \in C_{l+1}(K)\}$ degli $l$-bordi, quindi il gruppo $l$-esimo di omologia $H_l(K)={Z_l(K)}/{B_l(K)}$.

Posto un tentativo di soluzione dell'esercizio:
Dato il complesso simpliciale triangolo pieno $K=\{(T), (a), (b), (c), (A), (B), (C)\}$ e il triangolo vuoto $L=\{(a), (b), (c), (A), (B), (C)\}$, dove $a, b, c$ sono i lati e $A, B, C$ i vertici, devo calcolare i gruppi di omologia dei due. I gruppi di catene di $L$ sono (sottintendo che ci si riferisca al gruppo $\mathbb{Z}$ per i coefficienti):
$C_0(L)=Span_\mathbb{Z}\{\langleA\rangle, \langleB\rangle, \langleC\rangle\}$
$C_1(L)=Span_\mathbb{Z}\{\langlea\rangle, \langleb\rangle, \langlec\rangle\}$
$C_l(L)=\{0\}$ per ogni $l\geq2$

Gli 1-cicli sono: $c_1 \in C_1(L)$ tali che $\partial c_1=0$, dove $c_1=m_1a+m_2b+m_3c$ (ho tolto i simboli di orientamento per semplicità), cioè $m_1(B-A)+m_2(C-B)+m_3(C-A)=0$, riordinando i termini e risolvendo il sistema si trova la condizione sui coefficienti: $m_1=m_2=-m_3$, quindi $Z_1(L)=Span_\mathbb{Z}\{\langlea\rangle, \langleb\rangle, \langlec\rangle\}=\mathbb{Z}$, mentre $B_1(L)=\{0\}$, quindi $H_1(L)=\mathbb{Z}$.
Si vede anche che $H_2(L) = \{0\}$.
Non riesco tuttavia a calcolare gli 0-bordi e 0-cicli, o meglio, mi viene sempre come risultato che entrambi i gruppi sono uguali a $\mathbb{Z}$, so che è sbagliato, perchè si deve avere ovviamente che $H_0(L)=\mathbb{Z}$.

Per quanto riguarda il triangolo pieno $K$, si ha che i gruppi di catene $0$ e $1$ sono uguali al caso precedente, mentre $C_2(K) = Span_\mathbb{Z}\{\langleT\rangle\}$. Il gruppo $Z_1(K)$ è uguale a prima, ma in questo caso $B_1(K)$ non è vuoto, perchè $C_2(K)$ non è vuoto: $\partial c \in B_1(K)$ con $c=nT \in C_2(K)$. $\partial c = n(a+b+c)$, quindi $B_1(K) = Z_1(K) = \mathbb{Z}$, da cui $H_1(K)=\{0\}$.
Anche qua $H_2(K) = \{0\}$.
$H_0(K)$ è uguale a $H_0(L)$, perchè le catene di ordine $0$ e $1$ sono le stesse, ma come prima non riesco a trovare la soluzione corretta.

Qualcuno può aiutarmi? grazie a tutti

Ma questo come si collega con il fatto che un elemento di questo gruppo è un'applicazione definita come sopra?

\(C_l(K)\) è il gruppo abeliano libero su \(S_l(K)\); questo implica che quando hai definito $c_l$ sugli elementi di \(S_l(K)\), cioè quando hai fissato una funzione di insiemi \(S_l(K)\to \mathbb Z\), tale funzione ammette un'unica estensione ad un omomorfismo di gruppi abeliani \(C_l(K)\to \mathbb Z\).

l'omeomorfismo di gruppo

Perché l'articolo determinativo? Ce n'è solo uno? Ma soprattutto, omomorfismo; un omeomorfismo è un'altra cosa. Proprio tutt'altra cosa.

Ho fatto i conti un po' pigramente, ma mi sembra che (dal momento che il differenziale è definito sui generatori mandando ciascun $l$-simplesso nella somma a segni alterni delle sue $l+1$ facce $(l-1)$-dimensionali) il complesso singolare del triangolo pieno sia\[
\cdots\to 0\to \mathbb Z \xrightarrow[\partial_2]{
\left(\begin{smallmatrix}
1 & -1 & 1
\end{smallmatrix}\right)
} \mathbb Z^3 \xrightarrow[\partial_1]{
\left(\begin{smallmatrix}
0&-1&-1\\
-1&0&1\\
1&1&0\\
\end{smallmatrix}\right)
} \mathbb Z^3 \to 0
\]e quello del triangolo vuoto sia invece\[
\cdots\to 0\to 0\to \mathbb Z^3 \to \mathbb Z^3 \to 0
\] con lo stesso $\partial_1$ e con $\partial_2=0$. Adesso allora è sufficiente un po' di algebra lineare: per capire chi sono nuclei e immagini dei differenziali, e quindi chi sono le omologie dei due spazi è sufficiente fare quella cosa che hai fatto dozzine di volte quando hai studiato algebra lineare. Sorprendente, vero, che l'algebra lineare torni utile nella vita?

Osserva ad esempio che puoi capire ad occhio che $H_1$ del triangolo pieno è zero semplicemente dal fatto che \(\ker( \partial_2 : C_2 \to C_1)\) non solo contiene, ma è proprio uguale a \(\text{im }\partial_1 : C_1 \to C_0\). Il loro quoziente sarà allora zero. E poi, è evidente che tutte le 0-catene sono 0-cicli, perché $\partial_0$ è la mappa nulla; allora, \(H_0(L) = \frac{C_0}{\ker \partial_1} = \text{coker } \partial_1 \cong \mathbb Z^3/\mathbb Z^2\) ha dimensione 1. E volendo, \(H_1(L) = \frac{\ker \partial_1}{\text{im }\partial_2}=0\), a riprova di quel che dicevo prima.

Ora:

1. Fai lo stesso conto con un pentagono pieno e con uno vuoto; scrivi la matrice dei differenziali e trova nuclei e omologie; cosa succede? Perché?
2. Se te la senti, fallo con un tetraedro pieno e uno vuoto. Cosa succede, perché?
3. E' un fatto generale che \(H_0(K)\cong \text{coker }\partial_0\) (cioè dipende o no da una proprietà di $K$)? Perché?

Altro esercizio: trova chi è l'omologia del complesso\[
\cdots\to 0\to \mathbb Z \xrightarrow[\partial_2]{
\left(\begin{smallmatrix}
2 & -2 & 2
\end{smallmatrix}\right)
} \mathbb Z^3 \xrightarrow[\partial_1]{
\left(\begin{smallmatrix}
0&-1&-1\\
-1&0&1\\
1&1&0\\
\end{smallmatrix}\right)
} \mathbb Z^3 \to 0
\] Sembra uguale a prima... poi generalizza al caso in cui $\partial_2$ è $(n,-n,n)$. Cosa è successo? Cosa hai imparato?

Che fine hai fatto? Sei riuscito a farlo per un tetraedro? E' un conto istruttivo; sai che deve venirti l'omologia della sfera, perché un tetraedro vuoto è omeomorfo ad $S^2$. Sicché...

Un'altra cosa simpatica è cambiare coefficienti usando \(\mathbb Z/2\): in quel caso come cambiano le matrici dei differenziali?

Ciao! Scusa se non ho più risposto, ho provato a fare quegli esercizi che mi avevi suggerito, purtroppo con pochi risultati.. Effettivamente non sono ancora arrivato a conoscere dei veri e propri metodi per studiare l'omologia, ho iniziato adesso a studiare la sequenza di Mayer-Vietoris che per come ci è stata presentata sembra quasi l'unico strumento utile in questi casi, quindi spero di riuscire a capirci qualcosa se conosci del materiale dove viene spiegata davvero bene ti prego di consigliarmi perché per ora è abbastanza ardua..

omomorfismo; un omeomorfismo è un'altra cosa. Proprio tutt'altra cosa.

Hai ragione, ho fatto un'errore nella scrittura.

Ciao! Scusa se non ho più risposto, ho provato a fare quegli esercizi che mi avevi suggerito, purtroppo con pochi risultati..

Penso che sia utile capire quali; a livello di conti elementari è davvero quasi tutto qui; l'unica cosa un po' delicata è capire come può un complesso di omologia dare gruppi di coomologia che hanno torsione: ma ti ho dato un esercizio anche per questo.

Effettivamente non sono ancora arrivato a conoscere dei veri e propri metodi per studiare l'omologia, ho iniziato adesso a studiare la sequenza di Mayer-Vietoris che per come ci è stata presentata sembra quasi l'unico strumento utile in questi casi

Sì, certo, con MV fai quasi tutti. Ma devi arrivarci! Penso sia necessario avere ben chiaro qualcosa di elementare. Tipo il tetraedro. Forza! Comincia a capire come sono definiti i differenziali.

Con un pò di conoscenze in più provo a risolvere (piano piano con molta calma) i quesiti che mi hai proposto.

Studio l'omologia del pentagono pieno e vuoto, il complesso singolare per il pentagono pieno $P$ è:

\[ \cdots\to 0\to \mathbb Z \xrightarrow[\partial_2]{ \left(\begin{smallmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right) } \mathbb Z^5 \xrightarrow[\partial_1]{ \left(\begin{smallmatrix} 0&-1& 1 & 0 & 0\\ 0&0&1&-1&0\\ 0&0&0&-1&1\\ -1&0&0&0&1 \\ -1&1&0&0&0 \end{smallmatrix}\right) } \mathbb Z^5 \to 0 \]

Trovo che il nucleo di $\partial_1$ ha dimensione $1$ ed è uguale all'immagine di $\partial_2$, quindi il loro quoziente sarà zero, $H_1(P)={0}$. Calcolando anche il nucleo di $\partial_0$ e l'immagine di $\partial_1$ posso trovare $H_0(P) \cong \frac{\mathbb{Z}^5}{\mathbb{Z}^4} = \mathbb{Z}$ (è corretta quest'uguaglianza finale?), mentre $H_k(P)= \{0 \} $ per ogni $k>=2$.

Per quanto riguarda il complesso singolare del pentagono vuoto $P'$ invece:

\[ \cdots\to 0\to \mathbb 0 \to \mathbb Z^5 \xrightarrow[\partial_1]{ \left(\begin{smallmatrix} 0&-1& 1 & 0 & 0\\ 0&0&1&-1&0\\ 0&0&0&-1&1\\ -1&0&0&0&1 \\ -1&1&0&0&0 \end{smallmatrix}\right) } \mathbb Z^5 \to 0 \]

In questo caso, $H_0(P')$ è uguale a prima, così come $H_k(P')$ per $k>=2$, rimane da calcolare $H_1(P')$. Per farlo possiamo notare che in questo complesso $\partial_2 = 0$, quindi la sua immagine è l'insieme vuoto ed ha dimensione $0$, mentre, poiché $\partial_1$ è uguale a prima, anche il suo nucleo lo è. Perciò $H_1(P')\cong \mathbb{Z}$.

Può andare bene? In questi giorni proverò anche il calcolo con il tetraedro, grazie ancora!

Per quanto riguarda il tetraedro vuoto $T'$ si ha il complesso di catene:
\[ \cdots\to 0\to 0 \to C_2 \xrightarrow[\partial_2]{ } C_1 \xrightarrow[\partial_1]{ } C_0 \to 0 \]
e gli isomorfismi:
\[ \cdots\to 0\to 0 \to \mathbb Z^4 \xrightarrow[\partial_2]{ } \mathbb Z^6 \xrightarrow[\partial_1]{ } \mathbb Z^4 \to 0 \]
$H_2(D') = ker \partial_2$, per trovare il nucleo di $\partial_2$ considero una $2$-catena $c_2\inC_2$, $c_2=sum_{i=0}^4 m_i f_i$, con $m_i \in \mathbb Z$ e $f_i$ i $2$-simplessi di $T'$. Denotando con $A, B, C, D$ i vertici di $T'$, allora $c_2=m_1 <A,B,C> + m_2<B,C,D> + m_3<A,B,D> + m_4<A,C,D>$.
$c_2 \in ker \partial_2$ se e solo se $\partial_2 c_2 = 0$, cioè se e solo se
\[ (m_1+m_4)<A,B> + (m_1-m_2)<B,C> +(m_1+m_3)<C,A> + (m_2+m_4)<B,D> + (m_2+m_3)<D,C>+(m_3-m_4)<A,D>=0 \]
La condizione è $m_1=m_2=-m_3=-m_4$, quindi $ker \partial_2 = <(1, 1, -1, -1)> = <(1)> = \mathbb Z$, da cui $H_2(T') \cong \mathbb Z$.
$H_1(T')=\frac{ker \partial_1}{Im \partial_2}$, si vede subito che $Im \partial_2 \cong \mathbb Z^3$, ed è uguale a $ker \partial_1$, quindi $H_1(T') = {0}$.
Infine $H_0(T') = \frac{C_0}{Im \partial_1}$, anche qua si vede che $Im \partial_1 \cong \mathbb Z^3$, quindi $H_0(T') \cong \frac{\mathbb Z^4}{\mathbb Z^3} = \mathbb Z$.
Da cui si ottiene $H_2(T') \cong \mathbb Z$, $H_1(T') = {0}$ e $H_0(T') \cong \mathbb Z$, mentre $H_k(T')={0}$, per ogni $k>=3$.

Per il tetraedro pieno $T$ il complesso di catene è:
\[ \cdots\to 0\to C_3 \xrightarrow[\partial_3]{ } C_2 \xrightarrow[\partial_2]{ } C_1 \xrightarrow[\partial_1]{ } C_0 \to 0 \]
e gli isomorfismi:
\[ \cdots\to 0\to \mathbb Z \xrightarrow[\partial_3]{ } \mathbb Z^4 \xrightarrow[\partial_2]{ } \mathbb Z^6 \xrightarrow[\partial_1]{ } \mathbb Z^4 \to 0 \]
Le uniche differenze dal complesso precedente sono $C_3$ e $\partial_3$, in questo caso $Im \partial_3 \cong \mathbb Z$, essendo uguale a $ker \partial_2$ allora $H_2(T)={0}$. Infine $H_0(T)=H_0(T')$, $H_1(T)=H_1(T')$ e $H_k(T)=H_k(T')$ per ogni $k>=3$.

Molto più velocemente si può vedere che $T'$ è omeomorfo a $S^2$, quindi i loro gruppi fondamentali sono isomorfi. Essendo noti i gruppi fondamentali di $S^2$ si ricavano quelli di $T'$.

3. E' un fatto generale che \(H_0(K)\cong \text{coker }\partial_0\) (cioè dipende o no da una proprietà di $K$)? Perché?

Non dovrebbe essere $coker \partial_1$?

$H_0(L) = \frac{C_0}{\ker \partial_1} = \text{coker} \partial_1$ $...$

Data $f:X \to Y$ lineare si definisce $coker f = \frac{Y}{Im f}$, quindi dato un complesso di catene
\[ \cdots \to C_2 \xrightarrow[\partial_2]{ } C_1 \xrightarrow[\partial_1]{ } C_0 \xrightarrow[\partial_0]{ } 0 \]
il co-nucleo di $\partial_1: C_1 \to C_0$ è dato da $coker \partial_1 = \frac{C_0}{Im \partial_1}$, infine, poiché $\partial_0:C_0 \to 0$ è la mappa nulla allora il suo nucleo è l'intero spazio su cui è definita, cioè $ker \partial_0 = C_0$. Da cui $coker \partial_1 := \frac{C_0}{Im \partial_1} = \frac{ker \partial_0}{Im \partial_1} := H_0(K)$.

Non avendo fatto nessuna ipotesi su $K$ vale in generale che $coker \partial_1 = H_0(K)$, giusto?