Esempi di matrici che formano un semi-gruppo, ma non un gruppo ?

[francox]

Nella prima risposta a questo link
https://math.stackexchange.com/question ... -semigroup

A semigroup is a set equipped with an operation that is merely associative, different from a group in that we assume the binary operation of a group is associative and invertible, i.e. each element has an inverse with respect to the operation

leggendo i commenti ho visto che le matrici possono formare un semi-gruppo, ma io vorrei un esempio di

1) matrici che formano un semi-gruppo, ma non un gruppo
2) data la risposta 1, scrivere rispetto a quella matrice che avete scritto, il contro-esempio di quella matrice nelle condizioni in cui, invece, fosse sia un semi-gruppo sia un gruppo, quindi sia associativa, sia invertibile.

Mi interessa guardare alla differenza perchè quando si dice che "la matrix multiplication è associativa"
https://proofwiki.org/wiki/Matrix_Multi ... ssociative

mi sono reso conto che è un particolare modo di 'associare' che però mi interessa ottenere ma non proprio per usare "per quello" per come la mettono loro, ecco, anche se comunque mi serve sia l'associatività che l'invertibilità

Io cerco piu una sorta di gruppo alla "semi-gruppo', cioè una struttura o una categoria dove possa verificarsi una condizione di associabilità, come una sorta di auto-inversione 'per associazione', qualcosa di questo tipo e non che 'è associativa e invertibile', questa è una condizione troppo chiara, troppo accessibile perchè dà troppe informazioni (troppo contenuto utile, utilizzabile, come se ci trovassimo con 100.000€ e potremmo comprare troppe cose) e un modo di 'arbitrare' che poi porta alla degenerazione.

Ultima modifica di francox il 29/12/2018, 16:30, modificato 1 volta in totale.

[otta96]

Se prendi $(M(n,n,RR),.)$ con $n>0$, dove $.$ è il prodotto riga per colonna delle matrici, hai un semigruppo che non è un gruppo perché non tutte le metrici sono invertibili (ad esempio quella nulla).

[francox]

Quindi se invece $(M(n,n,RR),.)$ fosse anche gruppo allora che $n = x$ dovremmo avere ?

[otta96]

Quello è un gruppo solo se $n=0$, ma è il gruppo banale (con un solo elemento), che non è molto interessante.

[francox]

Ma se invece avessimo proprio $n = x$ non potremmo piu parlare di gruppo e nè di semigruppo?
Come bisogna comportarsi se $n$ è un' incognita ?

P.S: non so se non è interessante come però tu dici perchè leggendo su nLab

A loop is a quasigroup with an identity element.

Inoltre

The single element of the trivial group is the identity element

Quindi ci colleghiamo alla Lawvere theory

P.S.S: Inoltre

A ‘Fermat theory’ is a Lawvere theory that extends the usual theory of commutative rings by permitting differentiation.

E sapendo che i campi sono anelli commutativi, beh.. la cosa diventa piuttosto interessante

Ultima modifica di francox il 29/12/2018, 18:16, modificato 2 volte in totale.

[otta96]

Che vuol dire $n=x$? E come fa $n$ a esser un'incognita? Ci deve essere un problema associato...

[francox]

Nel senso che sei tu che 'associ' il problema, quindi si, è vero quando dici "ci deve essere un problema associato", in questo senso intendo 'associare'.
Ma non mi pare in matematica si sia affrontato un' impostazione per un approccio strutturale di questo tipo, di solito c'è gia prima un problema associato, e su quello si fanno le operazioni, ma è come se mancasse il passo prima, quindi l'associazione si fa sul problema associato, non si 'associa' prima per arrivare al problema associato come punto finale per non 'associare' un problema allo stesso, che secondo me, non andrebbe toccato, se no è manipolare il problema, non risolverlo (è una mia filosofia però)

[fmnq]

"Dei mali del leggere l'$n$Lab prima di avere aperto un libro di algebretta"...

[francox]

@fmnq

Sei davvero convinto che puoi usare le cose scritte in "libro di algebretta" solo come vuoi tu?
E chi ha messo in discussione le definizioni ? Credi che faccia certi collegamenti per farlo davvero ? Non mi interessa per come me lo potrebbe dire nLab o la tua algebretta, che ricordo, che prima di essere 'algebra' è un modo per strutturare un pensiero logico, io uso un'altra struttura logica quindi non mi serve 'capire' l'algebretta, ma imparare ad usarla perchè quello che voi attualmente fate, non è usarla, ma solo riportare delle regole "già scritte" da qualcuno.

Infatti non capisci i miei collegamenti perchè non la stai usando perchè tu la condividi, non la stai usando, non puoi 'condividere' qualcosa che usi, quello lo fai semmai dopo, ma è un'altra cosa, un' altra matematica.

P.S: condividerla in tempo 'reale' non è usarla, è sempre condividere.

[fmnq]

data la risposta 1, scrivere rispetto a quella matrice che avete scritto, il contro-esempio di quella matrice nelle condizioni in cui, invece, fosse sia un semi-gruppo sia un gruppo, quindi sia associativa, sia invertibile

Cosa vuol dire questo?