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Esercizio sui gruppi commutativi

12/02/2019, 10:06

Considerare l'insieme R e l'operazione x&y=x+y+2xy. L'accoppiamento è un gruppo commutativo?


Per la proprietà commutativa è ovvio che
$ y&x=y+x+2yx=x&y $. Vale.

Verifico ora l'associativa, prendendo a,b,c in R.

$ a&(b&c)=a&(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abc $

$ (a&b)&c=(a+b+2ab)&c=a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc $.
Vale.

Cerco ora l'elemento neutro:
$ x&N=x" " rArr x+N+2xN=x " " rArr 2xN=-N " "rArr x=-1/2 $.

Non riesco a interpretare quest'ultimo risultato. Mi sembra senza senso. Grazie in anticipo.

Re: Esercizio sui gruppi commutativi

12/02/2019, 13:40

Tutto giusto, però tu stai risolvendo l'ultima rispetto a N per trovarlo, x è fissato, e hai diviso ma non sai se N è 0 o no, e lo è affiche quella uguaglianza sia vera per ogni x, difatti $x&0=x+0+0=x$.
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