Cardinalità

Spesso la cardinalità di un insieme generico \( A \) è impropriamente definita come 'il numero di elementi dell'insieme \( A \)'.
Per quanto ho capito, la cardinalità di un insieme \( A \) è l'insieme di equipotenza di \( A \), ma non ho capito cos'è l'insieme di equipotenza di \( A \), è un insieme che contiene tutti gli insiemi con cui \( A \) è equipotente?

Sulla classe degli insiemi esiste una relazione di equivalenza: "essere in biiezione". La cardinalità di $A$ è definita come la classe di equivalenza cui $A$ appartiene mediante questa relazione.

Ma da tutto ciò come arriviamo a stabilire un numero che sarà uguale al numero di elementi di \( A \)?
Scusa se te lo chiedo ma non è che mi faresti un esempio con l'insieme $ A = { 1, 2, 3} $ ?

Ci vorrebbe un corso di logica per dire tutto...

In breve, non ci sono i numeri, ci sono gli insiemi; le proprietà dei numeri sono proprietà degli insiemi, e i "numeri" sono classi di equivalenza di insiemi. Le operazioni che compi coi numeri sono operazioni che, prima di poterle definire, devi poter compiere con gli insiemi; per esempio l'operazione di "aggiungere 1", detta anche "successore" o "fino a quanto sai contare?" prende un insieme $Y$ e ne restituisce uno che ha un elemento in più, $Y\cup\{Y\}$. La somma di numeri corrisponde all'unione (disgiunta) di insiemi, il prodotto al loro prodotto cartesiano, etc.

Ho capito cosa intendi dire.
Nell'insieme $ U $ che ha come elementi solo gli insiemi finiti, definendo la relazione d'equipotenza $ R $ , possiamo trovarci l'insieme quoziente \( U/R \) , i quali elementi rappresenteranno tutti un elemento dell'insieme $NN$.
La Cardinalità di un insieme finito \( A \) corrisponde alla \( [A] \) rispetto alla già definita \( R \) .
Il nostro professore nelle sue slide l'ha definita come "classe di equipotenza di \( A \)" , è un errore ho vuol dire la stessa cosa?

P.s .Scusa se ho spiegato la prima parte frettolosamente.