18/02/2019, 12:41
18/02/2019, 16:33
Non "dimostri" con un singolo esempio: al massimo, nel caso ti capitasse di dover provare che una cosa quantificata universalmente ("dimostra che per tutti gli \( x \) [...]") non regge, è sufficiente un controesempio.Xriuk ha scritto:Come faccio a sapere quando basta dimostrare con un singolo esempio e quando devo dimostrare genericamente?
In che senso? Nel teorema in questo post, l'ipotesi è solamente il fatto che \( A \), \( B \), \( C \) siano insiemi: devi provare che i due membri rispettivamente a sinistra e a destra dell'uguale si includono l'un l'altro.Xriuk ha scritto:Quale condizione devo assumere come vera e quale dimostrare?
18/02/2019, 16:46
19/02/2019, 09:54
marco2132k ha scritto:Non "dimostri" con un singolo esempio: al massimo, nel caso ti capitasse di dover provare una cosa quantificata universalmente ("dimostra che per tutti gli \( x \) [...]"), è sufficiente un controesempio.
19/02/2019, 09:59
Cantor99 ha scritto:in questo caso puoi usare la doppia inclusione, cioè
\[
A=B \Leftrightarrow A\subseteq B \mbox{ e } B\subseteq A
\]
Metto sotto spoiler!Testo nascosto, fai click qui per vederloTi mostro che $A\times (B \cup C) \subseteq (A\times B)\cup (A\times C)$, che è, per definizione, equivalente a provare che ogni elemento di $A\times (B\cup C)$ sta dentro $(A\times B)\cup (A\times C)$
Considero $(x,y)\in A\times (B\cup C)$. Per come sono definite le coppie ordinate, si ha $x\in A$ e $y\in B\cup C$. Poiché $y\in B\cup C \Leftrightarrow y\in B \mbox{o} y\in C$, hai due casi. In particolare,
1. Se $y\in B$ hai che $(x,y)\in A\times B$;
2. se $y\in C$ hai che $(x,y)\in A \times C$.
In ogni caso, $(x,y)\in A\times B)\cup (A\times C)$. Pertanto $A\times (B\cup C) \subseteq (A\times B)\cup (A\times C)$
Ora proviamo che $(A\times B)\cup (A\times C)\subseteq A\times (B\cup C)$. Sia $(t,z)\in (A\times B)\cup (A\times C)$. Pertanto $(t,z)\in A\times B$ o $(t,z)\in A\times C$. In particolare,
1. Se $(t,z)\in A\times B$ allora $t\in A$ e $z\in B$
2. Se $(t,z)\in A\times C$ allora $t\in A$ e $z\in C$
In ogni caso, $t\in A$ e $z\in B\cup C$, cioè $(t,z)\in A\times (B\cup C)$
I due insiemi sono allora contenuti uno nell'altro e coincidono
19/02/2019, 15:34
19/02/2019, 16:29
https://math.stackexchange.com/q/1022868 questo è carino. Più banalmente, se dico che per ogni numero naturale \( m \) esiste un numero naturale \( n \) tale che \( mn=1 \), e considero il naturale \( 5 \), ammettere il mio claim significherebbe che per qualche \( b\in\mathbb{N} \), \( 5b=1 \).Xriuk ha scritto:Potresti farmi un esempio?
Non è sbagliato quello che dici. Però le dimostrazioni, come d'altronde le 'regole logiche' che accetti, sono generalmente ad un livello più terra-terra, ossia non formalizzato. Usi il linguaggio comune, e i simboli per abbreviare e dare chiarezza.Xriuk ha scritto:E per quanto riguarda la scrittura? Cioè, se io avessi in un esame un esercizio in cui devo dimostrare qualcosa, come potrei scriverlo in "linguaggio matematico"? Ogni passaggio intendo. Utilizzando l'implicazione? Oppure riga per riga va bene?
19/02/2019, 18:12
gugo82 ha scritto:Per imparare a scrivere dimostrazioni c'è un solo metodo che funziona: leggerne tante, (ri)scriverne tantissime e mostrarle a chi ne ha viste più di te, accettando le correzioni ed i consigli che ti vengono offerti.
19/02/2019, 19:01
Xriuk ha scritto:gugo82 ha scritto:Per imparare a scrivere dimostrazioni c'è un solo metodo che funziona: leggerne tante, (ri)scriverne tantissime e mostrarle a chi ne ha viste più di te, accettando le correzioni ed i consigli che ti vengono offerti.
È quello che temevo, quindi non c'è un procedimento vero e proprio se non quello di provare e riprovare...
19/02/2019, 19:04
gugo82 ha scritto:Xriuk ha scritto:gugo82 ha scritto:Per imparare a scrivere dimostrazioni c'è un solo metodo che funziona: leggerne tante, (ri)scriverne tantissime e mostrarle a chi ne ha viste più di te, accettando le correzioni ed i consigli che ti vengono offerti.
È quello che temevo, quindi non c'è un procedimento vero e proprio se non quello di provare e riprovare...
Come in ogni altra attività dell'essere umano.
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