18/02/2019, 15:57
Siano $K,F$ campi. La chiusura algebrica di $K$ in $F$ è l'insieme $\tilde{K}$ degli elementi algebrici di $F$ su $K$
Sia $K$ un campo. Un'estensione $\overline{K}$ di $K$ si dice chiusura algebrica di $K$ se e solo se $\overline{K}$ è algebricamente chiuso e $\overline {K}$ è un'estensione algebrica di $K$
19/02/2019, 01:09
19/02/2019, 16:46
spugna ha scritto:C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.
19/02/2019, 17:30
Cantor99 ha scritto:Sempre con riferimento a $QQ$, chi è la sua chiusura algebrica? Non può essere l'insieme dei numeri algebrici reali né, credo, $CC$ perché $RR$ è già un'estensione trascendente di $QQ$...
20/02/2019, 01:56
Cantor99 ha scritto:spugna ha scritto:C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.
Quando, in riferimento a $\tilde{K}$, dici che è univocamente determinato intendi per definizione (essendo definita come un insieme e non come un'estensione)?
Cantor99 ha scritto:noi, usando (senza dimostrarlo) il fatto che ogni campo $ K $ ammette un'estensione $ F $ algebricamente chiusa, abbiamo provato che la chiusura algebrica di $ K $ in $ F $ è algebricamente chiusa
20/02/2019, 04:37
21/02/2019, 03:18
22/02/2019, 17:37
22/02/2019, 18:07
Cantor99 ha scritto:Potresti chiarire meglio come, con il lemma di Zorn, l'inclusione $K\to F$ si estende ad un omomorfismo $\psi :F_{1} \to F_{2}$?
Cantor99 ha scritto:Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2} \backslash F_{1}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
23/02/2019, 12:59
fmnq ha scritto:(1) Col lemma di Zorn ottieni un elemento massimale $(M, \psi)$ (come?) e...
fmnq ha scritto:(2) Dimostri che deve essere $M = F_1$. Ma come? (Prova per assurdo.)
fmqn ha scritto:Cantor99 ha scritto:Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2} \backslash F_{1}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
L'idea è giusta, ma in che modo usi il fatto che $F_1$ sia algebricamente chiuso? Non potrebbe capitare che $F_2$ abbia un sottocampo proprio anch'esso algebricamente chiuso contenente $K$?
Nota bene che qui abbiamo $K \to F_1$ e $K \to F_2$, e la mappa $\psi : F_1 \to F_2$ commuta con le due inclusioni.
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