anelli noetheriani

ok, tutto molto chiaro grazie mille ! Se invece volessi procedere per induzione su $n$?

In realtà l'induzione serve per mostrare il se e solo se, e pure il discorso che ho fatto prima è per il se e solo se.

Il punto del discorso è che stiamo usando noetheriano in modo ambiguo. Citandoti, hai scritto

Proposizione 1 : Sia $A$ un anello commutativo e $H$ un ideale di $A$. Se $A$ è noetheriano, anche il quoziente $A // H$ è noetheriano. Viceversa, se $H$ e $A // H$ sono anelli noetheriani, lo è anche $A$.

tuttavia, essendo $H$ un ideale di $A$, non è del tutto legittimo dire che sia un "anello noetheriano". Però è qualcosa di noetheriano: un $A$-modulo noetheriano, che significa che ogni catena ascendente di $A$-sottomoduli è stazionaria. Nel nostro caso gli $A$-sottomoduli non sono altro che gli ideali che contiene. Inoltre, per $A$ essere un anello noetheriano è equivalente ad essere un $A$-modulo noetheriano. Quindi in questo caso possiamo tradurre la proposizione 1 in termini di $A$-moduli noetheriani.

Nella proposizione 1 manca una cosa: se $A$ è un anello noetheriano, puoi mostrare anche che ogni ideale $H$ è un $A$-modulo noetheriano. (Parti dalla definizione...)

Da cui segue...