Dubbio insieme universo

Salve, ho un dubbio riguardo gli insiemi e il concetto di insieme universo.

Secondo la definizione di insieme $ X $ è determinato dalla lista dei suoi elementi a due a due distinti, ovvero vuol dire che in un insieme non possono esistere due elementi uguali, e che devono essere tutti distinti.

Secondo la definizione di insieme universo, è quel insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti, ma qua mi sorge un dubbio. Quando per esempio nella rappresentazione delle funzioni $ f : R \rightarrow R $ si disegnano due cerchi chiusi per rappresentare i due insiemi e una freccia che associa due elementi da $ R $ a $ R $, mi confondo e non capisco come mai che l'insieme universo possa contenere così due insiemi uguali, e quindi elementi uguali.

Se l'insieme universo deve essere visto come un insime "normale", tantoché si possa restringere e farlo diventare un insieme ambiente (per quanto ne ho capito io), com'è possibile che esso allora contenga due elementi uguali contraddicendo la definizione elementare e primitiva di insieme stesso?

Le mie due risposte sono: o sbaglio io e qualsiasi mia insegnante che mi ha insegnato a rappresentare le funzioni, o comunque le relazioni in generali, associando elementi di insiemi uguali ad esempio da $R$ ad $R$, disegnato questi due insiemi con due cerchi separati, oppure che la definizione di universo stesso mi sfugge e che è da considerare come un caso particolare.

Grazie

Ciao, nella tua concezione di insieme universo $U$ esso contiene l'insieme che chiami $R$. Ora, una funzione $f:R to R$ non è un disegno con due cerchi e delle frecce quel disegno serve solo ad avere una idea intuitiva di cosa succede. Prova a guardarti la definizione di funzione. Una funzione $f:R to R$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $R xx R$ con determinate proprietà.

Insomma, rielaborando un po’ il pensiero di Martino (se sbaglio, correggimi pure), devi tener presente che quella di Eulero & Venn è una rappresentazione di ciò che hai sotto mano, con tutte le imperfezioni che una rappresentazione comporta.
Così come (per usare un’espressione abusata) “la mappa non è il territorio”, così non puoi pretendere che una (qualsiasi) rappresentazione mostri esattamente le cose come stanno, i.e. mostri la verità matematica degli oggetti rappresentati; al massimo una rappresentazione mostra una parte della verità, cioè quella utile per gli scopi a cui la rappresentazione stessa serve.

Difatti, tutta la Storia della Matematica mostra il grosso sforzo fatto nei secoli (e soprattutto dalla metà del 1800 alla metà del 1900) per affrancare i concetti della Matematica dalle loro possibili (ed imprecise o fuorvianti) rappresentazioni.

Secondo la definizione di insieme universo, è quel insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti

Questa definizione purtroppo non va bene: se la comprensione \(\{X\mid X \text{ e' un insieme}\}\) fosse un insieme, avrebbe un cardinale associato, diciamolo $\alpha$; del resto, però, se $\alpha$ è un cardinale, tale è $2^\alpha$, cosicché $2^\alpha\in U$; del resto, questa cosa implica che $2^\alpha \le \alpha$, assurdo (c'è un teorema che lo nega).

Quando per esempio nella rappresentazione delle funzioni $ f : R \rightarrow R $ si disegnano due cerchi chiusi per rappresentare i due insiemi e una freccia che associa due elementi da $ R $ a $ R $, mi confondo e non capisco come mai che l'insieme universo possa contenere così due insiemi uguali, e quindi elementi uguali.

Non hai mai disegnato "insiemi uguali"; ciò di cui il disegno che hai fatto è una rappresentazione è il prodotto $R\times R$ e un suo particolare sottoinsieme, la funzione $f : R\to R$.