Però in un gruppo, l'esistenza dell elemento neutro a sinistra implica l'esistenza dell'elemento neutro a destra, infatti
\( (G,\ast)\) è un gruppo se valgono le seguenti condizioni
- Associatività di \( \ast \)
- Esistenza dell'elemento neutro a sinistra
- Esistenza dell'elemento inverso a sinistra
Prova a dimostrarlo
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Dimostrazione che l'elemento inverso a sinistra è elemento inverso a destra, sia \( g \in G \) e \( g^{-1}\) l'inverso a sinistra di \( g \), e sia \( e_G \) l'elemento neutro a sinistra.
\( g \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} \ast g \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast e_G \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} = e_G \)
E d'altra parte
\( (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} \ast g \ast g^{-1} = e_G \ast g \ast g^{-1} = g \ast g^{-1} = e_G \)
Dimostrazione che l'elemento neutro a sinistra è elemento neutro a destra.
\( g \ast e_G = g \ast g^{-1} \ast g = e_G \ast g = g \)
E dunque l'unicitià la dimostri come sopra (altro commento)
Io ho messo gli assiomi con inverso a sinistra e neutro a sinistra, ma è del tutto equivalente facendo inverso a destra e neutro a destra.
Quindi sostanzialmente il fatto che in altre strutture algebriche possa esistere l'elemento neutro a sinistra e non a destra (o viceversa) deriva dal fatto che non è assicurato che ogni elemento possiede un inverso.
Infatti nel esempio di prima \( \odot(x,y)=y \) non esiste elemento inverso a sinsitra, e dunque
\(e_G=\odot(g,e_G) \neq \odot(g, \odot(g^{-1}, g )) =\odot(g, g) = g \)