Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Buonasera,
ho un esercizio in cui devo trovare il gruppo delle unita'. Tramite Il teorema dell'unita' di Dedekind ho trovato che la sua cardinalita' e' due. Ora devo trovare gli elementi.
Il mio professore ha detto che se troviamo due ideali principali che hanno stessa fattorizzazione tramite ideali primi allora facendo la divisione tra i due otteniamo l'unita', ma io non capisco come si fa la divisione. Posto un esempio da lui svolto.
$u_1 = (1 − α)^2/(1 + α) = 7 − 6α + α^2 − α^3$
In cui le fattorizzazioni dei due ideali principali tramite ideali primi sono
$(1 − α)=−2=(p_2)'$
$(1 + α)= 2^2=((p_2)')^2$
e $(p_2)'=(2,1 + α)$

Dovresti dirci chi è $alpha$

Dovresti dirci chi è $alpha$

Si, scusami, e' uno zero del mio polinomio che e' $f(x)=x^4+2*x^3+x^2-10$

Fai la divisione con resto del polinomio che hai detto per $x+1$. Una volta fatto questo sostituisci $x=alpha$. Troverai un'uguaglianza del tipo

$(1+alpha)P(alpha)=1$.

Segue che

$1/(1+alpha)=P(alpha)$.

Quindi moltiplicando $P(alpha)$ per $(1-alpha)^2$ trovi $u_1$.

Fai la divisione con resto del polinomio che hai detto per $x+1$. Una volta fatto questo sostituisci $x=alpha$. Troverai un'uguaglianza del tipo

$(1+alpha)P(alpha)=1$.

Segue che

$1/(1+alpha)=P(alpha)$.

Quindi moltiplicando $P(alpha)$ per $(1-alpha)^2$ trovi $u_1$.

Ho fatto come dici ma non viene

Riprova. E scrivi qui i conti.

Ho sbagliato a scrivere il polinomio, è $x^4+6x^2-3x-6$
Quindi,dividendolo con $x+1$ ottengo $x^3-x^2+7x-10$ con resto 4
A questo punto moltiplico il quoziente della divisione per $(1-a)^2$ dopo aver sostituito x con a e ottengo:
$a^5-2a^4+10a^3-25a^2+13a-10$

Adesso puoi ricavare $a^4$ in funzione delle potenze minori di $a$ cioè siccome $a$ è zero di $x^4+6x^2-3x-6$ hai

$a^4=-6a^2+3a+6$

Di conseguenza moltiplicando per $a$ hai

$a^5=-6a^3+3a^2+6a$

Non ti resta che sostituire queste espressioni nella formula da te trovata.

Non ho controllato i tuoi conti. Ovviamente perché venga devono essere giusti.

Ok grazie! Tutto chiaro

Viene il suo risultato moltiplicato per (-4), c'entra qualcosa il resto della divisione che è 4 oppure è un caso?
Perché divide per l'opposto del resto?