Uno ogni tre!

Trovare una formula chiusa per i numeri $lambda_n$,
definiti come $lambda_n=sum_(k=0)^n (-1)^k ((n),(3k))$.

Trovare una formula chiusa per i numeri $lambda_n$,
definiti come $lambda_n=sum_(k=0)^n (-1)^k ((n),(3k))$.

Ma non dovrebbe essere $k<=n/3$?

In realtà avrei anche potuto estendere la somma da $0$ a $+oo$,
visto che se $k>n$ allora $((n),(k))=0$. Comunque, se si vuole, $0<=k<=|__n/3+1__|$.

Faccio alcune premesse.
Se $epsilon$ e' una delle due radici cubiche dell'unita' ( diverse da 1),si ha:
$epsilon^(2p)+epsilon^p+1=0 $ se p non e' divisibile per 3
$epsilon^(2p)+epsilon^p+1=3$ se p e' divisibile per 3
In particolare e' $epsilon^2+epsilon+1=0$ da cui $epsilon^2=-epsilon-1$
Cio' fatto ,si ha:
$(1+x)^n= ((n),(0))+ ((n),(1))x+((n),(2))x^2+((n),(3))x^3+((n),(4))x^4+....+((n),(n))x^n$
Poniamo ora in quest'ultima eguaglianza $x=-1,-epsilon,-epsilon^2 $ :
$(1-1)^n= ((n),(0))- ((n),(1))+((n),(2))-((n),(3))+((n),(4))+....$
$(1-epsilon)^n= ((n),(0))- ((n),(1))epsilon+((n),(2))epsilon^2-((n),(3))epsilon^3+((n),(4))epsilon^4+....
$(1-epsilon^2)^n= ((n),(0))- ((n),(1))epsilon^2+((n),(2))epsilon^4-((n),(3))epsilon^6+((n),(4))epsilon^8+....
Sommando e tenendo conto delle premesse,risulta:
(1) $(1-epsilon)^n+(2+epsilon)^n=3*[((n),(0))- ((n),(3))+((n),(6))-((n),(9))+....]=3 *S$
dove S e' la somma richiesta estesa fin quando non e' ,per n<k, $((n),(k))=0$
Scegliamo ora $epsilon=(-1+isqrt3)/2$ e poniamo:
$z_1=1-epsilon=(3-isqrt3)/2;z_2=2+epsilon=(3+isqrt3)/2$
In forma trigonometrica risulta:
$z_1=(sqrt3,-(pi)/6);z_2=(sqrt3,+(pi)/6)$ da cui $ z_1^n=(3^(n//2),-(npi)/2) ;z_2^n=(3^(n//2),+(npi)/2)$
Sostituendo in (1) si ha quindi:
$S=1/3*2*3^(n//2)*cos((npi)/6)$ ed in definitiva:
$S=2*3^((n-2)//2)*cos((npi)/6)$
In particolare per n dispari divisibile per 3 ,ovvero per n=3(2k+1),si ha S=0
karl

E' perfetto. Vorrei solo aggiungere una dimostrazione rapidissima
della proprietà, più generale, delle radici $r$-esime dell'unità usata da Karl
nella soluzione del problema: si vuole mostrare che $1/rsum_(omega^r=1) omega^n={(1mbox( se )r|n),(0 mbox( altrimenti )):}$ (1)
Il LHS si può scrivere come $1/r sum_(j=0)^(r-1) e^((2pi i j n)/r)$, che è la somma di un numero
finito di elementi di una progressione geometrica che, se calcolata, restituisce
il RHS della (1).